Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Với bất kì \({x_0} \in \mathbb{R}\), ta có:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{e^x} - {e^{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\)
Đặt \(x = {x_0} + \Delta x\). Ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{{x_0} + \Delta x}} - {e^{{x_0}}}}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{{x_0}}}.{e^{\Delta x}} - {e^{{x_0}}}}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{{x_0}}}.\left( {{e^{\Delta x}} - 1} \right)}}{{\Delta x}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {e^{{x_0}}}.\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{\Delta x}} - 1}}{{\Delta x}} = {e^{{x_0}}}.1 = {e^{{x_0}}}\end{array}\)
Vậy \({\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x}\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Với bất kì \({x_0} > 0\), ta có:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln {\rm{x}} - \ln {{\rm{x}}_0}}}{{x - {x_0}}}\)
Đặt \(x = {x_0} + \Delta x\). Ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\ln \left( {{x_0} + \Delta x} \right) - \ln {{\rm{x}}_0}}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\ln \left( {\frac{{{x_0} + \Delta x}}{{{{\rm{x}}_0}}}} \right)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{{\Delta x}}{{{{\rm{x}}_0}}}} \right)}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{{{x_0}}}.\frac{{\ln \left( {1 + \frac{{\Delta x}}{{{{\rm{x}}_0}}}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{{{x_0}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{{{x_0}}}.\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{{\Delta x}}{{{{\rm{x}}_0}}}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{{{x_0}}}}}\end{array}\)
Đặt \(\frac{{\Delta x}}{{{x_0}}} = t\). Lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{{{x_0}}} = \frac{1}{{{x_0}}};\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{{\Delta x}}{{{{\rm{x}}_0}}}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{{{x_0}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + t} \right)}}{t} = 1\)
Vậy \(f'\left( {{x_0}} \right) = \frac{1}{{{x_0}}}.1 = \frac{1}{{{x_0}}}\)
Vậy \({\left( {\ln x} \right)^\prime } = \frac{1}{x}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\sqrt[n]{y}=4x+1\)
\(y^{\dfrac{1}{n}}=4x+1\)
đạo cấp 1
\(\dfrac{1}{n}y^{\left(\dfrac{1}{n}-1\right)}=\dfrac{1}{n}\sqrt[n]{y^{\left(1-n\right)}}=4\)
thay y=(4x+1)^n vào
\(\dfrac{1}{n}\sqrt[n]{\left(4x+1\right)^{n\left(1-n\right)}}=\dfrac{1}{n}\left(4x+1\right)^{\left(1-n\right)}\)
từ đó: \(y'=\dfrac{4}{\dfrac{1}{n}\left(4x+1\right)^{\left(1-n\right)}}=4.n\left(4x+1\right)^{n-1}\)
Có đúng không: cấp n có thể phải làm lấy vài cái--> quy luật nào đó
Tìm giá trị nhỏ nhất của P=2sinx+sin2x trên [0;3pi/2].
mọi người đừng dùng đạo hàm ạ em chưa được học
a: Nếu a là số nguyên dương thì TXĐ là D=R
Nếu a là số không phải nguyên dương thì TXĐ là D=R\{0}
Nếu a không là số nguyên thì TXĐ: D=R
b: \(y'=\left(x^a\right)'=\left(e^{a\cdot lnx}\right)'\)
\(=\dfrac{a}{x}\cdot e^{a\cdot lnx}=\dfrac{a}{x}\cdot x^a=a\cdot x^{a-1}\)
a: \(y'=\left(x\cdot log_2x\right)'=log_2x+x\cdot\dfrac{1}{x\cdot ln2}=log_2x+\dfrac{1}{ln2}\)
b: \(y'=\left(x^3e^x\right)'=\left(x^3\right)'\cdot e^x+x^3\cdot\left(e^x\right)'\)
\(=3x^2\cdot e^x+x^3\cdot e^x\)
a) Với bất kì \({x_0} \in \mathbb{R}\), ta có:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x - {x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 1 = 1\)
Vậy \(f'\left( x \right) = {\left( x \right)^\prime } = 1\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {{x^2}} \right)^\prime } = 2{\rm{x}}\\{\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{{\rm{x}}^2}\\...\\{\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{{\rm{x}}^{n - 1}}\end{array}\)
Đây là một câu hỏi rất rộng. Để biết khi nào dùng đạo hàm, nguyên hàm, ... thì bạn cần phải học về khái niệm của các đại lượng trên, cách tính và ý nghĩa của nó như thế nào.
Ví dụ về đạo hàm chẳng hạn.
Người ta định nghĩa đạo hàm thế này:
Hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập \(D\)
Tại giá trị \(x=x_0\) thì \(y=y_0\)
Tại giá trị \(x=x_1\) thì \(y=y_1\)
Ta có biến thiên của hàm số là: \(\Delta y=y_1-y_0\)
Biến thiên của đối số là: \(\Delta x = x_1-x_0\)
Ta gọi giới hạn nếu có của tỉ số \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) khi \(\Delta x\) tiến đến 0 là đạo hàm bậc nhất của hàm số \(y=f(x)\) tại \(x=x_0\)
Viết là: \(y'=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)
Ý nghĩa của đạo hàm
Trong chuyển động thẳng không đều, khi gắn chuyển động vào một hệ quy chiếu (có hệ tọa độ và mốc thời gian), thì để xác định vận tốc của chuyển động ta tìm:
+ Vận tốc trung bình: \(v_{TB}=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\)
+ Để xác định vận tốc tức thời tại một vị trí, ví dụ tại M ở hình vẽ trên thì ta phải cho N tiến sát đến M, hay \(\Delta t \rightarrow 0\)
Từ đó suy ra: \(v=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\), theo khái niệm đạo hàm ta có giá trị này bằng đạo hàm bậc nhất của tọa độ \(x\) theo thời gian \(t\), viết lại là:
\(v=x'_{(t)}\)
Tương tự ta có gia tốc của chuyển động: \(a=v'_{(t)}\)
Ví dụ: Xét một chuyển động thẳng biến đổi đều có phương trình là:
\(x=10+3.t+2t^2\) (m)
Suy ra phương trình vận tốc là: \(v=x'_{(t)}=3+6.t (m/s)\)
Gia tốc của chuyển động là: \(a=v'_{(t)}=6(m/s^2)\)
Vậy nhé, còn các đại lượng khác thì bạn tìm hiểu trong sách Giải tích 12 sẽ rõ.
E xin Cảm ơn ạ.