Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
\(f'\left(x\right)=3x^2-6mx+3\left(2m-1\right)\)
\(f'\left(x\right)-6x=3x^2-3.2\left(m+1\right)x+3\left(2m-1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2\left(m+1\right)x+2m-1>0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x-1>2m\left(x-1\right)\)
Do \(x>2\Rightarrow x-1>0\) nên BPT tương đương:
\(\dfrac{x^2-2x-1}{x-1}>2m\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-1\right)^2-2}{x-1}>2m\)
Đặt \(t=x-1>1\Rightarrow\dfrac{t^2-2}{t}>2m\Leftrightarrow f\left(t\right)=t-\dfrac{2}{t}>2m\)
Xét hàm \(f\left(t\right)\) với \(t>1\) : \(f'\left(t\right)=1+\dfrac{2}{t^2}>0\) ; \(\forall t\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến
\(\Rightarrow f\left(t\right)>f\left(1\right)=-1\Rightarrow\) BPT đúng với mọi \(t>1\) khi \(2m< -1\Rightarrow m< -\dfrac{1}{2}\)
2.
Thay \(x=0\) vào giả thiết:
\(f^3\left(2\right)-2f^2\left(2\right)=0\Leftrightarrow f^2\left(2\right)\left[f\left(2\right)-2\right]=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(2\right)=0\\f\left(2\right)=2\end{matrix}\right.\)
Đạo hàm 2 vế giả thiết:
\(-3f^2\left(2-x\right).f'\left(2-x\right)-12f\left(2+3x\right).f'\left(2+3x\right)+2x.g\left(x\right)+x^2.g'\left(x\right)+36=0\) (1)
Thế \(x=0\) vào (1) ta được:
\(-3f^2\left(2\right).f'\left(2\right)-12f\left(2\right).f'\left(2\right)+36=0\)
\(\Leftrightarrow f^2\left(2\right).f'\left(2\right)+4f\left(2\right).f'\left(2\right)-12=0\) (2)
Với \(f\left(2\right)=0\) thế vào (2) \(\Rightarrow-12=0\) ko thỏa mãn (loại)
\(\Rightarrow f\left(2\right)=2\)
Thế vào (2):
\(4f'\left(2\right)+8f'\left(2\right)-12=0\Leftrightarrow f'\left(2\right)=1\)
\(\Rightarrow A=3.2+4.1\)
\(f'\left(x\right)=3\left(m-1\right)x^2+4\left(m-1\right)x+m\)
- Với \(m=1\Rightarrow f'\left(x\right)=1>0\) (không thỏa mãn)
- Với \(m\ne1\Rightarrow f'\left(x\right)< 0;\forall x\) khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=4\left(m-1\right)^2-3m\left(m-1\right)< 0\\m-1< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1< m< 4\\m< 1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu
\(2x^2+3x-\left(m-1\right)>0;\forall x\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2>0\\\Delta=9+8\left(m-1\right)< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m< -\dfrac{1}{8}\)
để hàm số xác định với mọi x thuộc R thì
\(2m\cos^2x+\left(2-m\right)\cos x+4m-1\ge0\Leftrightarrow m\left(2cos^2x-cosx+4\right)\ge1-2cosx\)
mà \(2cos^2x-cosx+4>0\) nên :
\(m\ge\frac{1-2cosx}{2cos^2x-cosx+4}\)\(\Leftrightarrow\)\(m\ge max\left(\frac{1-2cosx}{2cos^2x-cosx+4}\right)=\frac{3}{7}\)
vậy điều kiện của m là : \(m\ge\frac{3}{7}\)
Hàm xác định trên R khi và chỉ khi:
\(5sin4x-6cos4x+2m-1\ge0;\forall x\)
\(\Leftrightarrow5sin4x-6cos4x\ge1-2m;\forall x\)
\(\Leftrightarrow1-2m\le\min\limits_{x\in R}\left(5sin4x-6cos4x\right)\)
Ta có: \(\left(5sin4x-6cos4x\right)^2\le\left(5^2+\left(-6\right)^2\right)\left(sin^24x+cos^24x\right)=61\)
\(\Rightarrow5sin4x-6cos4x\ge-\sqrt{61}\)
\(\Rightarrow1-2m\le-\sqrt{61}\)
\(\Rightarrow m\ge\dfrac{1+\sqrt{61}}{2}\)
Lời giải:
Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc 2.
a)
Để hàm \(f(x)=4x^2-(m+2)x+2m-3>0\forall x\in\mathbb{R}\)
\(\Leftrightarrow \Delta=(m+2)^2-16(2m-3)<0\)
\(\Leftrightarrow m^2-28m+52=(m-2)(m-26)<0\)
\(\Leftrightarrow 2< m<26\)
b)
Nếu \(m=-1\rightarrow f(x)=-6x\) không thể âm với mọi $x$
Nếu \(m\neq -1\):
Để \(f(x)=(m+1)x^2+2(2m-1)x-m-1<0\forall x\in\mathbb{R}\) thì cần hai đk sau:
1. \(m+1<0\leftrightarrow m<-1\)
2. \(\Delta'=(2m-1)^2+(m+1)^2<0\) (hiển nhiên vô lý)
Vậy không tồn tại $m$ thỏa mãn.