K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
13 tháng 1 2021

ĐKXĐ: \(1< x< 9\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{9-x}=a\\\sqrt{x-1}=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a;b>0\\a^2+b^2=8\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\le16\Rightarrow a+b\le4\)

\(BPT\Leftrightarrow\dfrac{a^2-1}{a}+\dfrac{b^2-1}{b}\ge3\) (1)

Đặt \(P=\dfrac{a^2-1}{a}+\dfrac{b^2-1}{b}-3\)

\(P=a+b-\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)-3\le a+b-\dfrac{4}{a+b}-3\)

\(P\le\dfrac{\left(a+b\right)^2-3\left(a+b\right)-4}{a+b}=\dfrac{\left(a+b+1\right)\left(a+b-4\right)}{a+b}\le0\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2-1}{a}+\dfrac{b^2-1}{b}\le3\) (2)

(1); (2) \(\Rightarrow\dfrac{a^2-1}{a}+\dfrac{b^2-1}{b}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(a=b=2\Leftrightarrow x=5\)

Vậy BPT đã cho có nghiệm duy nhất \(x=5\)

16 tháng 1 2021

ĐK: \(x\ge2\)

\(\dfrac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x+1}}{x^2+\sqrt{3x-6}}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x+1}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}\ge\sqrt{x+1}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1\ge0\\x^2+1\ge x+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\x^2-x\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-1\le x\le0\\x\ge1\end{matrix}\right.\)

Kết hợp điều kiện xác định ta được \(x\ge2\)