K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

25 tháng 7 2018

a) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHB\), ta có:

\(AH^2=AM\cdot AB\left(1\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHC\), ta có:

\(AH^2=AN\cdot AC\left(2\right)\)

Từ(1) và (2) ta được: \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

b) Ta có: MHNA là hình chữ nhật(pn tự cm nha cái này dễ)

\(\Rightarrow MH=AN\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHC\), ta có:

\(HN^2=AN\cdot NC\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHB\), ta có:

\(HM^2=AM\cdot MB\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHN\), ta có:

\(AN^2+HN^2=AH^2\)

\(MH=AN\)

\(\Rightarrow MH^2+HN^2=AH^2\)

\(\Rightarrow BM\cdot MA+AN\cdot NC=BH\cdot HC\)

c) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:

\(AC^2=HC\cdot BC\left(1\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:

\(AB^2=HB\cdot BC\left(2\right)\)

Lấy (2) chia (1) ta được: \(\dfrac{HB}{HC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2\)

d) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:

\(AC^2=HC\cdot BC\Rightarrow AC^4=HC^2\cdot BC^2\)

\(\Rightarrow AC^4=NC\cdot AC\cdot BC^2\Rightarrow AC^3=NC\cdot BC^2\left(1\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:

\(AB^2=HB\cdot BC\Rightarrow AB^4=HB^2\cdot BC^2\)

\(\Rightarrow AB^4=BM\cdot AB\cdot BC^2\Rightarrow AB^3=BM\cdot BC^2\left(2\right)\)

Lấy (2) chia (1) ta được: \(\dfrac{BM}{CN}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH^2=BH\cdot CH\)

\(\Leftrightarrow AH^2=9\cdot16=144\)

hay AH=12(cm)

Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{EAD}=90^0\)

\(\widehat{ADH}=90^0\)

\(\widehat{AEH}=90^0\)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Suy ra: AH=DE(Hai đường chéo)

mà AH=12(cm)

nên DE=12cm

1 tháng 10 2017

Bài 1:

A=(tan\(\alpha\)+cot\(\alpha\))2-1=22-1=3

11 tháng 10 2018

A B C M D E F I K L G N

Gọi G là đỉnh thứ tư của hình bình hành KMIG. Giao điểm của MG và IK là N.

Do tứ giác KMIG là hình bình hành nên MI = KG và ^MKG + ^KMI = 1800 hay ^MKG + ^EMD = 1800

Ta có: \(\frac{MI}{BC}=\frac{MK}{AC}\). Do MI = KG nên \(\frac{KG}{BC}=\frac{MK}{AC}\)

Xét tứ giác CDME có: ^CDM = ^CEM = 900 => ^ECD + ^EMD = 1800. Mà ^MKG + ^EMD = 1800 (cmt)

Nên ^ECD = ^MKG hay ^ACB = ^MKG 

Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)MGK có: \(\frac{GK}{BC}=\frac{MK}{AC}\); ^ACB = ^MKG => \(\Delta\)ABC ~ \(\Delta\)MGK (c.g.c)

=> ^BAC = ^GMK và \(\frac{MG}{AB}=\frac{MK}{AC}\)

Lại có: \(\frac{MK}{AC}=\frac{ML}{AB};\frac{MG}{AB}=\frac{MK}{AC}\)(cmt) => \(\frac{ML}{AB}=\frac{MG}{AB}\)=> ML = MG

Ta thấy: Tứ giác AFME có ^AFM = ^AEM = 900 => ^FAE + ^FME = 1800 . Mà ^FAE = ^BAC = ^GMK (cmt)

Nên ^GMK + ^FME = 1800 => G;M;F thẳng hàng. Hay G;M;I thẳng hàng

Mặt khác: N là trung điểm KI và MG (T/c hbh) => Điểm M nằm trên trung tuyến LN của \(\Delta\)IKL (1)

MG = ML; MN = 1/2.MG (cmt) => MN=1/2.ML (2)

Từ (1) và (2) => M là trọng tâm của \(\Delta\)IKL (đpcm).

AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 8 2020

Lời giải:

a) Áp dụng các công thức trong hệ thức lượng trong tam giác vuông đối với:

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$: $\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}$

$\Rightarrow AH^2=\frac{m^2n^2}{m^2+n^2}$

Tam giác $AHC$ vuông tại $H$ đường cao $HE$: $AH^2=AE.AC$

$\Leftrightarrow \frac{m^2n^2}{m^2+n^2}=AE.n\Rightarrow AE=\frac{m^2n}{m^2+n^2}$

Hoàn toàn tương tự: $AF=\frac{mn^2}{m^2+n^2}$

b) Đề đúng phải là: $EF^3=AE.BC.AF$

Xét tứ giác $AEHF$ có 3 góc vuông nên $AEHF$ là hình chữ nhật.

$\Rightarrow EF=AH\Rightarrow EF^3=AH^3(*)$

Mặt khác:

Theo phần a: $AH^2=AE.AC=AF.AB$

$\Rightarrow AH^4=AE.AF.AB.AC=AE.AF.2S_{ABC}=AE.AF.AH.BC$

$\Leftrightarrow AH^3=AE.AF.BC(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow EF^3=AE.AF.BC$ (đpcm)

c)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông với tam giác $ABC$, đường cao $AH$ và tam giác vuoogn $AHC$ đường cao $HE$:

$BF.\sqrt{CH}+CE.\sqrt{BH}=AH.\sqrt{BC}$

$\Leftrightarrow BF.\sqrt{CH.CB}+CE.\sqrt{BH.BC}=AH.BC$

$\Leftrightarrow BF. \sqrt{AC^2}+CE.\sqrt{AB^2}=AH.BC$

$\Leftrightarrow BF.AC+CE.AB=AH.BC$

$\Leftrightarrow (BA-AF)AC+CE.AB=AH.BC$

$\Leftrightarrow AF.AC=CE.AB$

$\Leftrightarrow $AF.AC=\frac{HE^2}{AE}.AB$

$\Leftrightarrow AF.AC=\frac{AF^2}{AE}.AB$

$\Leftrightarrow AE.AC=AF.AB$ (luôn đúng vì cùng bằng $AH^2$)

Vậy........

 

 

AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 8 2020

Hình vẽ:

22 tháng 10 2023

a) Để tính AC, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông: AC^2 = AB^2 + BC^2. Với AB = 12cm và BC = 20cm, ta có: AC^2 = 12^2 + 20^2 = 144 + 400 = 544. Do đó, AC = √544 ≈ 23.32cm.

Để tính góc B, ta sử dụng công thức sin(B) = BC/AC. Với BC = 20cm và AC = 23.32cm, ta có: sin(B) = 20/23.32 ≈ 0.857. Từ đó, góc B ≈ arcsin(0.857) ≈ 58.62°.

Để tính AH, ta sử dụng công thức cos(B) = AH/AC. Với góc B ≈ 58.62° và AC = 23.32cm, ta có: cos(B) = AH/23.32. Từ đó, AH = 23.32 * cos(58.62°) ≈ 11.39cm.

b) Ta cần chứng minh AE.AC = AB^2 - HB^2. Vì ΔABC vuông tại A, ta có: AE = AB * sin(B) (theo định lý sin trong tam giác vuông) AC = AB * cos(B) (theo định lý cos trong tam giác vuông) HB = AB * sin(B) (theo định lý sin trong tam giác vuông)

Thay các giá trị vào biểu thức cần chứng minh: AE.AC = (AB * sin(B)) * (AB * cos(B)) = AB^2 * sin(B) * cos(B) = AB^2 * (sin(B) * cos(B)) = AB^2 * (sin^2(B) / sin(B)) = AB^2 * (1 - sin^2(B)) = AB^2 * (1 - (sin(B))^2) = AB^2 * (1 - (HB/AB)^2) = AB^2 - HB^2

Vậy, ta đã chứng minh AE.AC = AB^2 - HB^2.

c) Ta cần chứng minh AF = AE * tan(B). Vì ΔABC vuông tại A, ta có: AE = AB * sin(B) (theo định lý sin trong tam giác vuông) AF = AB * cos(B) (theo định lý cos trong tam giác vuông)

Thay các giá trị vào biểu thức cần chứng minh: AF = AB * cos(B) = AB * (cos(B) / sin(B)) * sin(B) = (AB * cos(B) / sin(B)) * sin(B) = AE * sin(B) = AE * tan(B)

Vậy, ta đã chứng minh AF = AE * tan(B).

d) Ta cần chứng minh tỉ lệ giữa các đường cao trong tam giác vuông ΔABC. CE/BF = AC/AB

Vì ΔABC vuông tại A, ta có: CE = AC * cos(B) (theo định lý cos trong tam giác vuông) BF = AB * cos(B) (theo định lý cos trong tam giác vuông)

Thay các giá trị vào biểu thức cần chứng minh: CE/BF = (AC * cos(B)) / (AB * cos(B)) = AC/AB

Vậy, ta đã chứng minh CE/BF = AC/AB.

b: Xét ΔAHC vuông tại H có 

\(AC^2=AH^2+HC^2\)

hay \(AH^2=AC^2-HC^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AC^2-HC^2=AN\cdot AC\)