![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có : \(n^3-3n^2-n+3=n^2.\left(n-3\right)-\left(n-3\right)=\left(n-3\right)\left(n^2-1\right)=\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n-3\right)\)Vì n là số nguyên lẻ nên n có dạng 2k +1 ( n \(\in N\)*)
Thay n = 2k + 1 vào ta có :
\(\left(2k+1-3\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1-1\right)=\left(2k-2\right)\left(2k+2\right)2k=2\left(k-1\right).2\left(k+1\right).2k=8.k.\left(k-1\right).\left(k+1\right)⋮8\)
Mà \(\left(k-1\right).k.\left(k+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên \(\left(k-1\right).k.\left(k+1\right)⋮2\)
\(\left(k-1\right).k.\left(k+1\right)⋮3\)
=> \(\left(k-1\right).k.\left(k+1\right)⋮6\)
=> \(8.\left(k-1\right).k.\left(k+1\right)⋮48\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
A = n^3-3n^2-n+3 = n^2(n - 3) - (n-3) = (n -3)(n-1)(n+1)
vì n lẻ nên:
(n-1)(n+1) là tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
(n - 3) là số chẵn chia hết cho 2
=> A chia hết cho 16(*)
mặt khác:
A = n^3-3n^2-n+3 = n^3 - n - 3(n^2 - 1) = n(n+1)(n-1) - 3(n^2-1)
xét các trường hợp:
n = 3k => n(n+1)(n-1) chia hết cho 3 => A chia hết cho 3
n = 3k + 1 => (n -1) chia hết cho 3 => A chia hết cho 3
n = 3k + 2 => (n+1) = 3k + 3 chia hết cho 3 => A chia hết cho 3
=> A chia hết cho 3 (**)
(*) và (**) => A chia hết cho 3.16 = 48 (3,16 là 2 số nguyên tố cùng nhau).
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(a,n^5-5n^3+4n=n\left(n^4-5n^2+4\right)=n\left(n^4-n^2-4n^2+4\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮120\)(chia hết cho 1;2;3;4;5)\(\Rightarrowđpcm\)
b,
A = n^3-3n^2-n+3 = n^2(n - 3) - (n-3) = (n -3)(n-1)(n+1)
vì n lẻ nên:
(n-1)(n+1) là tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
(n - 3) là số chẵn chia hết cho 2
=> A chia hết cho 16(*)
mặt khác:
A = n^3-3n^2-n+3 = n^3 - n - 3(n^2 - 1) = n(n+1)(n-1) - 3(n^2-1)
xét các trường hợp:
n = 3k => n(n+1)(n-1) chia hết cho 3 => A chia hết cho 3
n = 3k + 1 => (n -1) chia hết cho 3 => A chia hết cho 3
n = 3k + 2 => (n+1) = 3k + 3 chia hết cho 3 => A chia hết cho 3
=> A chia hết cho 3 (**)
(*) và (**) => A chia hết cho 3.16 = 48 (3,16 là 2 số nguyên tố cùng nhau).
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài 2 gọi hai số chẵn đó là 2a và 2a+2
ta có 2a(2a+2)=4a^2+4a=4a(a+1)
vì a và a+1 là hai số liên tiếp nên trong hai số này sẽ có ,ột số chia hết cho 2
Suy ra 4a(a+1)chia hết cho 8
Bài 3 n^3-3n^2-n+3=n^2(n-3)-(n-3)
=(n-3)(n^2-1)
=(n-3)(n-1)(n+1)
Do n lẻ nên ta thay n=2k+1ta được (2k-2)2k(2k+2)=2(k-1)2k2(k+1)
=8(k-1)k(k+1)
vì k-1,k,k+1laf ba số nguyên liên tiếp mà tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
8.6=48 Vậy n^3-3n^2-n+3 chia hết cho 8 với n lẻ
Bài 4 n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4)=n(n^1-1)(n^2-4)
=n(n+1)(n-1)(n-2)(n+2)là tích của 5 số nguyên liên tiếp
Trong 5 số nguyên liên tiếp có ít nhất hai số là bội của 2 trong đó có một số là bội của 4
một bội của 3 một bội của 5 do đó tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2.3.4.5=120
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
n^2(n-3)-(n-3)=(n-3)(n^2-1)=(n-3)(n-1)(n+1)
Có: (n-1)(n+1) là tích 2 số chắn liên tiếp=> (n-1)(n+1) chia hết cho 8
n lẻ=> n-3 chẵn=> n-3 chia hết cho 2
=> (n-3)(n-1)(n+1) chia hết cho 2*8=16(1)
Mặt khác n^3-3n^2-n+3 = n(n^2-1)-3(n^2-1)=n(n-1)(n+1)-3(n^2-1)
thấy n(n-1)(n+1) là tích 3 stn liên tiếp => n(n-1)(n+1) chia hết cho 3
lại có: 3(n^2-1) chia hết cho 3
=> n^3-3n^2-n+3 chia hết cho 3(2)
(1)(2)=>n^3-3n^2-n+3 chia hết cho 48
n^3-3n^2-n+3=(n^3-n)-3(n^2-1)=n(n^2-1)-3(n^2-1)=(n-3)(n-1)(n+1)
n lẻ nên có dạng n=2k+1 (k \(\in N\)) thay vào trên ta được
(2k-2)2k(2k+2)=8(k-1)k(k+1) chia hết cho 48 nếu (k-10k(k+10 chia hết cho 6
Thật vậy
(k-1)k(K+1) là 3 số liên tiếp nên luôn tồn tại một số chia hết cho 3
(k-1)k(k+1) cũng luôn tồn tại ít nhất một số chia hết cho 2
vậy (k-1)k(k+1) chia hết cho 6 (chứng minh xong)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(n^3-3n^2-n+3\)
\(=n^2\left(n-3\right)-\left(n-3\right)\)
\(=\left(n-3\right)\left(n^2-1\right)\)
\(=\left(n-3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Với n lẻ =>(n-3)(n-1)(n+1) là tích 3 số chẵn liên tiếp
\(\Rightarrow\left(n-3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮24\)
\(\Rightarrowđpcm\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(A=N^5-N=N\left(N^4-1\right)=N\left(N^2-1\right)\left(N^2+1\right)=N\left(N-1\right)\left(N+1\right)\left(N^2+1\right)\)
NẾU N:5 DƯ 1\(\Rightarrow N=5K+1\)
\(\Rightarrow A=N.\left(5K+1-1\right)\left(N+1\right)\left(N^2+1\right)=N.5K.\left(N+1\right)\left(N^2+1\right)\)
...
Đến đây thì bí rồi nhé