PT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
24 tháng 2 2020
Theo bđt Mincopxki:
\(VT\ge\sqrt{3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2}\ge\sqrt{3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2+\left[\frac{9}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}\right]^2}\)
Sử dụng bđt AM-GM ta cm được:\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le3\)
bđt cần cm\(\Leftrightarrow3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2+\frac{81}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}\ge36\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2+\frac{27}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}\ge12\)
Đặt \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=x\rightarrow0< x\le9\)
Ta cần CM: \(x+\frac{27}{x}\ge12\)
\(VT\ge x+\frac{81}{x}-\frac{54}{x}\ge2\sqrt{81}-\frac{54}{9}=12\left(đpcm\right)\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
PT
1
KN
22 tháng 8 2020
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau \(\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(x+y\right)^2}\)
Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với \(\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\right)^2\ge\left(a+x\right)^2+\left(b+y\right)^2\)\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\ge2ax+2by\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
Bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức Bunyakovsky nên (*) đúng
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có \(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\)\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\)
Ta cần chứng minh \(\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{153}{4}\)
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy và chú ý giả thiết \(a+b+c\le\frac{3}{2}\), ta được:\(\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{\left(a+b+c\right)^2}\)\(=\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}+\frac{1215}{16\left(a+b+c\right)^2}\)\(\ge2\sqrt{\left(a+b+c\right)^2.\frac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}}+\frac{1215}{16.\frac{9}{4}}=\frac{153}{4}\)
Bất đẳng thức đã được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
DH
8 tháng 2 2020
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{a+b}{2}+\frac{1}{4}\right)-\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\ge0\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương ta được:
\(VT\left(1\right)\ge\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}-\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\ge\sqrt{ab}\left[\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\) Đúng.
\(\RightarrowĐpcm\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 6 2020
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của Nguyễn Bảo Trân - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
\(a;b>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{\sqrt{b}}-\sqrt{b}-\left(\sqrt{a}-\frac{b}{\sqrt{a}}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{\sqrt{b}}-\frac{a-b}{\sqrt{a}}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{ab}}\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi a=b