Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}\ge2\sqrt{\frac{ab}{abc^2}}=\frac{2}{c}\)
Tương tự: \(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{b}\) ; \(\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Đề bài không đúng
Đặt \(A=\frac{c\left(ab+1\right)^2}{b^2\left(bc+1\right)}+\frac{a\left(bc+1\right)^2}{c^2\left(ca+1\right)}+\frac{b\left(ca+1\right)^2}{a^2\left(ab+1\right)}\) và \(x=ab+1;\) \(y=bc+1;\) \(z=ca+1\) \(\left(\text{*}\right)\)
Khi đó, với các giá trị tương ứng trên thì biểu thức \(A\) trở thành: \(A=\frac{cx^2}{b^2y}+\frac{ay^2}{c^2z}+\frac{bz^2}{a^2x}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bộ ba phân số không âm của biểu thức trên (do \(a,b,c>0\)), ta có:
\(A=\frac{cx^2}{b^2y}+\frac{ay^2}{c^2z}+\frac{bz^2}{a^2x}\ge3\sqrt[3]{\frac{cx^2}{b^2y}.\frac{ay^2}{c^2z}.\frac{bz^2}{a^2z}}=3\sqrt[3]{\frac{xyz}{abc}}\) \(\left(\text{**}\right)\)
Mặt khác, do \(ab+1\ge2\sqrt{ab}\) (bất đẳng thức AM-GM cho hai số \(a,b\) luôn dương)
nên \(x\ge2\sqrt{ab}\) \(\left(1\right)\) (theo cách đặt ở \(\left(\text{*}\right)\))
Hoàn toàn tương tự với vòng hoán vị \(a\) \(\rightarrow\) \(b\) \(\rightarrow\) \(c\) và với chú ý cách đặt ở \(\left(\text{*}\right)\), ta cũng có:
\(y\ge2\sqrt{bc}\) \(\left(2\right)\) và \(z\ge2\sqrt{ca}\) \(\left(3\right)\)
Nhân từng vế \(\left(1\right);\) \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\), ta được \(xyz\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc\)
Do đó, \(3\sqrt[3]{\frac{xyz}{abc}}\ge3\sqrt[3]{\frac{8abc}{abc}}=3\sqrt[3]{8}=6\) \(\left(\text{***}\right)\)
Từ \(\left(\text{**}\right)\) và \(\left(\text{***}\right)\) suy ra được \(A\ge6\), tức \(\frac{c\left(ab+1\right)^2}{b^2\left(bc+1\right)}+\frac{a\left(bc+1\right)^2}{c^2\left(ca+1\right)}+\frac{b\left(ca+1\right)^2}{a^2\left(ab+1\right)}\ge6\) (điều phải chứng minh)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=1\)
từ giả thiết ta có
\(\frac{1}{bc-a^2}=\frac{1}{b^2-ca}+\frac{1}{c^2-ab}=\frac{c^2-ab+b^2-ca}{\left(b^2-ca\right)\left(c^2-ab\right)}\)
Nhân hai vế với \(\frac{a}{bc-a^2}\) ta có:
\(\frac{a}{\left(bc-a^2\right)^2}=\frac{ac^2-a^2b+ab^2-ca^2}{\left(bc-a^2\right)\left(b^2-ca\right)\left(c^2-ab\right)}\)
làm tương tự với hai số hạng còn lại ta được:
\(\frac{b}{\left(ca-b^2\right)^2}=\frac{bc^2-ab^2+a^2b-b^2c}{\left(bc-a^2\right)\left(b^2-ca\right)\left(c^2-ab\right)}\);\(\frac{c}{\left(ab-c^2\right)^2}=\frac{b^2c-c^2a+a^2c-bc^2}{\left(bc-a^2\right)\left(b^2-ca\right)\left(c^2-ab\right)}\)
cộng ba vế của đẳng thức trên ta được kq là 0 
cách kia dài quá
Đặt \(x=bc-a^2;y=ac-b^2;z=ab-c^2\)
Suy ra cần chứng minh \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\) thì \(\frac{a}{x^2}+\frac{b}{y^2}+\frac{c}{z^2}=0\)
Xét \(T=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)\).....
Có : (a-b)^2 >= 0
<=> a^2+b^2 >= 2ab
<=> (a+b)^2 >= 4ab ( cộng mỗi vế thêm 2ab )
Với a,b > 0 thì chia cả 2 vế cho ab.(a+b) được :
a+b/ab >= 4/a+b
<=> 1/a + 1/b >= 4/a+b
Tương tự : 1/b + 1/c >= 4/b+c ; 1/c + 1/a >= 4/c+a
=> 2.(1/a+1/b+1/c) >= 4.(1/a+b + 1/b+c + 1/c+a)
<=> 1/a + 1/b + 1/c >= 2.(1/a+b + 1/b+c + 1/c+a)
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0
Tk mk nha
viết thư gửi mẹ ở trên trời:
Hà Nội, ngày...tháng....năm.....
"Chắc ở nơi nào đó, mẹ cũng vui vì nhìn thấy con hạnh phúc và trưởng thành hơn. Cũng lâu lắm rồi, con không lên thắp hương cho mẹ, con thật có lỗi. Sống ở đây, con được ba lo cho rất đầy đủ, nhưng đôi khi con lại muốn cảm giác được mẹ chăm sóc khi còn nhỏ hơn, ước gì có thể quay ngược lại thời gian để con ngập tràn trong phút giây đó.
Con vẫn chưa nói 'Con yêu mẹ' được và đây là điều hối tiếc nhất trong cuộc đời con. Nhưng con biết mẹ sẽ hiểu được tấm lòng của con vì con ít khi thể hiện sự yêu thương bằng lời nói mà chỉ thể hiện bằng những thành quả mà con đạt được.
Mọi chuyện đều do định mệnh nên mẹ đừng buồn, cả nhà luôn yêu thương mẹ. Nếu có kiếp sau con muốn làm con của mẹ một lần nữa.
Yêu mẹ! Chúc mẹ luôn hạnh phúc ở phương xa".
giải nhầm bài