K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
28 tháng 3 2021
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
ML
8 tháng 8 2016
B2: \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=4\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=2\\a+b+c=-2\end{cases}}\)
TH1: \(a+b+c=2\Rightarrow c=2-\left(a+b\right)\)
\(a^2+b^2+c^2=2\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\left(2-a-b\right)^2=2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+ab-2\left(a+b\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+\left(b-2\right)a+b^2-2b+1=0\)
Xem đây là một phương trình bậc hai ẩn a, tham số b.
Để tồn tại a thỏa phương trình trên thì \(\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-2\right)^2-4\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow b\left(3b-4\right)\le0\)\(\Leftrightarrow0\le b\le\frac{4}{3}\)
Do vai trò của a, b, c là như nhau nên \(0\le a,b,c\le\frac{4}{3}\)
(hoặc đổi biến thành b và tham số a --> CM được a, rồi thay \(b=2-c-a\) sẽ chứng minh được c)
TH2: \(a+b+c=-2\) --> tương tự trường hợp 1 nhưng kết quả sẽ là
\(-\frac{4}{3}\le a,b,c\le0\)
Kết hợp 2 trường hợp lại, ta có đpcm.
9 tháng 6 2018
\(S=\frac{\sqrt{a-2}}{a}+\frac{\sqrt{b-6}}{b}+\frac{\sqrt{c-12}}{c}=\frac{\sqrt{2\left(a-2\right)}}{\sqrt{2}a}+\frac{\sqrt{6\left(b-6\right)}}{\sqrt{6}b}+\frac{\sqrt{12\left(c-12\right)}}{\sqrt{12}c}\)
\(\le\frac{\frac{2+a-2}{2}}{\sqrt{2}a}+\frac{\frac{6+b-6}{2}}{\sqrt{6}b}+\frac{\frac{12+c-12}{2}}{\sqrt{12}c}=\frac{a}{2\sqrt{2}a}+\frac{b}{2\sqrt{6}b}+\frac{c}{2\sqrt{12c}}\)(AM-GM)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{6}}+\frac{1}{2\sqrt{12}}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=4;b=12;c=24\)
MV
3
1 tháng 1 2017
Vi a^2+b^2+c^2=1
=>-1=<a,b,c=<1
=>(1+a)(1+b)(1+c)>=0
=>1+abc+ab+bc+ca+a+b+c>=0 (1*)
Lại có (a+b+c+1)^2/2>=0
=>[a^2+b^2+c^2+1+2a+2b+2c+2ab+2bc+2ca
]/2>=0
=>[2+2a+2b+2c+2ab+2bc+2ca]/2>=0 (Thay a^2+b^2+c^2=1)
=>1+a+b+c+ab+bc+ca>=0 (2*)
tu (1*)(2*) ta co abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)>=0
dau = xay ra <=>a+b+c=-1 va a^2+b^2+c^2=1
<=>a=0,b=0,c=-1 va cac hoan vi cua no
1 tháng 1 2017
Vì a^2+b^2+c^2=1
=>-1=<a,b,c=<1
=>(1+a)(1+b)(1+c)>=0
=>1+abc+ab+bc+ca+a+b+c>=0 (1*)
Lại có (a+b+c+1)^2/2>=0
=>[a^2+b^2+c^2+1+2a+2b+2c+2ab+2bc+2ca
]/2>=0
=>[2+2a+2b+2c+2ab+2bc+2ca]/2>=0 (Thay a^2+b^2+c^2=1)
=>1+a+b+c+ab+bc+ca>=0 (2*)
tu (1*)(2*) ta co abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)>=0
dau = xay ra <=>a+b+c=-1 va a^2+b^2+c^2=1
<=>a=0,b=0,c=-1 và các hoan vi của nó
TN
29 tháng 3 2017
Quy đồng BĐT ban đầu ta được BĐT cần chứng minh là
\(a^2+b^2+c^2+3\ge3a^2b^2c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2+2abc\left(a+b+c\right)-3a^2b^2c^2\ge12\)
Đây là hàm bậc 2 theo \(abc\) có hệ số \(A< 0\), mà \(abc\in\left[0;\frac{a+b+c}{3}\right]\) nên GTNN đạt được khi \(abc=0\) hoặc \(abc=\frac{a+b+c}{3}\)
*)Xét \(abc=0\). Giả sử \(c=0\) thì \(ab=3\) và \(VT=\left(a+b\right)^2\ge4ab=12\)
*)Xét \(abc=\frac{a+b+c}{3}\) thì:
\(VT=\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)^2\ge4\left(ab+bc+ca\right)=12\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\) hoặc \(a=b=\sqrt{3};c=0\) và các hoán vị
11 tháng 2 2020
a,b,c< 0 mà a+b+c bé hơn hoặc bằng 1
a+b+c ít nhất phải bằng 3 chứ!
HT
0