Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét 2003 số có dạng 2004, 20042004, 200420042004, ..., 2004200420042004...2004 (2003 lần số 2004).
TH1: Nếu có 1 số chia hết cho 2003 thì ta có đpcm.
TH2: Nếu không có số nào chia hết cho 2003 thì có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 2003. Gọi 2 số đó là \(a_i=20042004...2004\) (i lần số 2004) và \(a_j=20042004...2004\) (j lần số 2004)
\(\Rightarrow a_i-a_j=2004..200400..000\vdots 2003\) (i-j lần số 2004 và 4j lần số 0)
\(\Leftrightarrow 20042004...2004.10^{4j}\vdots 2003\)
mà \((10^{4j}, 2003)=1\)
Suy ra ta có đpcm.
Có 5 số, và 3 số dư khi chia cho 3 là 0;1;2
Nếu có 3,4 hay 5 số mà có cùng số dư khi chia cho 3 thì tổng 3 trong số đó chia hết cho 3.
Nếu có ít hơn 3 nghĩa là nhiều nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3 thì trong 5 số đó cùng tồn tại các số chia 3 dư 0;1;2 nên tổng 3 số có số dư khi chia cho 3 khác nhau sẽ chia hết cho 3.
Do đó trong 5 số nguyên bất kì luôn tìm được 3 số có tổng chia hết cho 3.
\(^∗\)Xét \(n=2011\)thì \(S\left(2011\right)=2011^2-2011.2011+2010=2010\)(vô lí)
\(^∗\)Xét \(n>2011\)thì \(n-2011>0\)do đó \(S\left(n\right)=n\left(n-2011\right)+2010>n\left(n-2011\right)>n\)(vô lí do \(S\left(n\right)\le n\))
* Xét \(1\le n\le2010\)thì \(\left(n-1\right)\left(n-2010\right)\le0\Leftrightarrow n^2-2011n+2010\le0\)hay \(S\left(n\right)\le0\)(vô lí do \(S\left(n\right)>0\))
Vậy không tồn tại số nguyên dương n thỏa mãn đề bài
Với k > 1 , bao giờ ta cũng có 10k - 1 \(⋮\)19
suy ra 102k - 1 \(⋮\)19
103k - 1 \(⋮\)19
...
1019k - 1 \(⋮\)19
Vậy : 10k - 1 + 102k - 1 + 103k - 1 + ... + 1019k - 1 \(⋮\)19
hay ( 10k + 102k + 103k + ... + 1019k ) - 19 \(⋮\)19
do đó 10k + 102k + ... + 1019k \(⋮\)19
100...0 ( k chữ số 0 )+ 100...0 ( 2k chữ số 0 ) + ... + 100...0 ( 19k chữ số 0 ) \(⋮\)19
Tổng này có 19 số hạng, tổng các chữ số của nó đúng bằng 19
Ta có 19;1919;191919;19.....19 (20 số 9)
Theo nguyên lí Direchlet thì có ít nhất 2 trong số dãy trên có cùng số dư khi chia cho 13
=> 19....19 (x chữ số 9) - 19....19 (y chữ số 9) chia hết cho 9
=> 19....1900....0 (x-y chữ số 19, y chữ số 0) chia hết cho 19
=> 19...19.10^y (x-y chữ số 19) chia hết cho 19
Vì 10^y và 19 là nguyên tố cùng nhau
=> 19.....19 (x-y chữ số 19) chia hết cho 19
=> Tồn tại 1 bội của số 19 mà gồm toàn chữ số 19 (đpcm)