Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(2^2+4^2+...+\left(2n\right)^2=2^2\left(1^2+2^2+...+n^2\right)\)
\(=\frac{2^2.n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}=\frac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}\)
\(\Rightarrow\) Sai, nhưng số 1 và số 4 khi viết trên bảng rất giống nhau, bạn có chắc mình ko nhìn nhầm và chép nhầm đề ko?
\(1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)
Do \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}>0\) nên \(1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}>1\) (đúng)
Lại nghi ngờ bạn chép nhầm đề, ko ai cho đề bài kiểu này cả, hoặc là vế phải là số 2, hoặc vế trái bạn thừa số 1 đầu tiên
\(\frac{3n+2}{2n-1}\in Z\Rightarrow\frac{2\left(3n+2\right)}{2n-1}\in Z\Rightarrow3+\frac{7}{2n-1}\in Z\)
\(\Rightarrow\frac{7}{2n-1}\in Z\Rightarrow2n-1=Ư\left(7\right)=\left\{-1;1;7\right\}\)
\(\Rightarrow n=\left\{0;1;4\right\}\)
Vậy \(A=\left\{0;1;4\right\}\)
\(A=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\)
\(A=2\left(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}\right)\)
\(A>2\left(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\right)\)
\(A>2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)
\(A>2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\)
Lời giải:
Vì $xy+yz+xz=1$ nên:
\(x^2+1=x^2+xy+yz+xz=(x+y)(x+z)\)
\(y^2+1=y^2+xy+yz+xz=(y+x)(y+z)\)
\(z^2+1=z^2+xy+yz+xz=(z+y)(z+x)\)
Do đó:
\(\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{1+z^2}=\frac{x}{(x+y)(x+z)}+\frac{y}{(y+x)(y+z)}+\frac{z}{(z+x)(z+y)}\)
\(=\frac{x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)}{(x+y)(y+z)(x+z)}=\frac{2(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(x+z)}=\frac{2}{\sqrt{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{(x+y)(x+z)(y+z)(y+x)(z+x)(z+y)}}=\frac{2}{\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}}\) (đpcm)
Lời giải:
Vì $xy+yz+xz=1$ nên:
\(x^2+1=x^2+xy+yz+xz=(x+y)(x+z)\)
\(y^2+1=y^2+xy+yz+xz=(y+x)(y+z)\)
\(z^2+1=z^2+xy+yz+xz=(z+y)(z+x)\)
Do đó:
\(\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{1+z^2}=\frac{x}{(x+y)(x+z)}+\frac{y}{(y+x)(y+z)}+\frac{z}{(z+x)(z+y)}\)
\(=\frac{x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)}{(x+y)(y+z)(x+z)}=\frac{2(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(x+z)}=\frac{2}{\sqrt{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{(x+y)(x+z)(y+z)(y+x)(z+x)(z+y)}}=\frac{2}{\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}}\) (đpcm)
công thức này sai ngay tầng một rồi còn chứng minh kiểu gì n=1 số tam giác là 9/8
Ta có \(\left(2n\right)^2=4n^2>4n^2-1=\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(2n\right)^2}< \frac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\)
\(P_n^2=\frac{1^23^25^2...\left(2n-1\right)^2}{2^24^26^2...2n^2}< \frac{1^23^25^2...\left(2n-1\right)^2}{1.3.3.5.5.7...\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\)
\(P^2< \frac{1^23^25^2...\left(2n-1\right)^2}{1.3^2.5^2...\left(2n-1\right)^2\left(2n+1\right)}=\frac{1}{2n+1}\)
\(\Rightarrow P< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\)