![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: \(\left(n+3\right)^2-\left(n-1\right)^2\)
\(=\left(n+3+n-1\right)\left(n+3-n+1\right)\)
\(=4n\left(2n+2\right)⋮8\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
f(n) = n^5-5n^3+4n
=n5-n3-4n3+4n
=n3.(n2-1)-4n.(n2-1)
=n(n2-1)(n2-4)
=n.(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)
ta có: n+1 và n là hai số nguyên liên tiếp nên: n.(n-1) chia hết cho 2
n-1;n;n+1 là ba số nguyên liên tiếp nên: n(n-1)(n+1) chia hết cho 3
n-1;n;n+1;n+2 là bốn số nguyên liên tiếp nên: n(n-1)(n+1)(n+2) chia hết cho 4
n-2;n-1;n;n+1;n+2 là năm số nguyên liên tiếp nên n.(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) chia hết cho 5
Suy ra: n.(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) chia hết cho 2.3.4.5=120
Vậy f(n) chia hết cho 129 với mọi n thuộc Z
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có:
\(n^5-5n^3+4n=n\left(n^4-5n^2+4\right)\)
\(=n\left(n^4-n^2-4n^2+4\right)\)
\(=n\left[n^2\left(n^2-1\right)-4\left(n^2-1\right)\right]\)
\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)\)
\(\Rightarrow\)\(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
Vì \(n-2;n-1;;n;n+1;n+2\) là tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3;5;8
Mà ƯC\(_{\left(3;5;8\right)}\)=1
\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) chia hết cho:
3.5.8=120(đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
n^5-5n^3+4n
=(n^5-n^4)+(n^4-n^3)-(4n^3-4n^2)-(4n^2-4n)
=n^4(n-1)+n^3(n-1)-4n^2(n-1)-4n(n-1)
=(n^4+n^3-4n^2-4n)(n-1)
=n(n^3+n^2-4n-4)(n-1)
=n[n^2(n+1)-4(n+1)](n-1)
=n(n^2-4)(n+1)(n-1)
=n(n-2)(n+2)(n+1)(n-1)
Mà 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120
=> ĐPCM
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1,
A = n^5 - 5n^3 + 4n = n.(n^4 - 5n^2+4)
= n.( n^4 - 4n^2 - n^2 + 4)
= n.[ n^2.(n^2 - 1) - 4.(n^2 - 1)
= n.(n^2) . (n^2 - 4)
= n.(n-1).(n+1).(n+2).(n-2)
A chia hết cho 120 (vìđây là 5 số liên tiếp, vì thế nó chia hết cho 2, 3, 4, 5. Mà 2.3.4.5=120 nên A chia hết cho 120 Với mọi n thuộc Z.)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài 2 gọi hai số chẵn đó là 2a và 2a+2
ta có 2a(2a+2)=4a^2+4a=4a(a+1)
vì a và a+1 là hai số liên tiếp nên trong hai số này sẽ có ,ột số chia hết cho 2
Suy ra 4a(a+1)chia hết cho 8
Bài 3 n^3-3n^2-n+3=n^2(n-3)-(n-3)
=(n-3)(n^2-1)
=(n-3)(n-1)(n+1)
Do n lẻ nên ta thay n=2k+1ta được (2k-2)2k(2k+2)=2(k-1)2k2(k+1)
=8(k-1)k(k+1)
vì k-1,k,k+1laf ba số nguyên liên tiếp mà tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
8.6=48 Vậy n^3-3n^2-n+3 chia hết cho 8 với n lẻ
Bài 4 n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4)=n(n^1-1)(n^2-4)
=n(n+1)(n-1)(n-2)(n+2)là tích của 5 số nguyên liên tiếp
Trong 5 số nguyên liên tiếp có ít nhất hai số là bội của 2 trong đó có một số là bội của 4
một bội của 3 một bội của 5 do đó tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2.3.4.5=120
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
A = n^5 - 5n^3 + 4n = (n.n^4 - 5n^2 + 4)
= n.(n^4 - 4n^2 - n^2 + 4)
= n. [n^2.(n^2 - 1) - 4.(n^2 - 1)
= n.(n^2) . (n^2 - 4)
= n.(n - 1) . (n + 1) . (n + 2)
=> A chia hết cho 120
Ta có \(n^5-5n^3+4n=n\left(n^4-5n^2+4\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)\)
Ta có n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) là tích 5 số nguyên liên tiếp => nó chia hết cho 5 và chia hết cho 3
mặt khác, sẽ tồn tại 2 số chăn liên tiép, 1 số chia hết cho 2 và số còn lại chia hết cho 4 => tích chia hết cho 8
mà 3,5,8 có ước chung lớn nhất =1 => n(n-1 )(n-2)(n+2) chia hết cho 120 (ĐPCM)
n5-5n3+4n=n(n4-5n2+4)
=n(n4-4n2-n2+4)=n[n2(n2-4)-(n2-4)]
=n[(n2-4)(n2-1)]
=n(n-2)(n+2)(n-1)(n+2)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
Vì tích trên là tích 5 SN liên tiếp nên chia hết cho 4,5,6
Mà (4,5,6)=1
=>tích trên chia hết cho 120(đpcm)