Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a, Chắc xét hàm số tổng quát!
Xét hàm số tổng quát:
\(\dfrac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\dfrac{\sqrt{k}}{k\left(k+1\right)}=\sqrt{k}\left(\dfrac{1}{k\left(k+1\right)}\right)\)
\(=\sqrt{k}\left[\sqrt{\dfrac{1}{k}}^2-\sqrt{\dfrac{1}{k+1}}^2\right]\)
\(=\sqrt{k}\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)
\(=\left(1+\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)
Vì \(\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}< 1\Rightarrow1+\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}< 2\)
Do đó \(\left(1+\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)< 2.\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\) (1)
Áp dụng điểu (1) ta được:
\(\dfrac{1}{2}< 2\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
\(\dfrac{1}{3\sqrt{2}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
...................................
\(\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+....+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+....+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Với mọi giá trị của \(n>0\) ta luôn có: \(\sqrt{n+1}>0\)
Do đó \(\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\) (đpcm)
Với mọi n >1 ta đều có: \(\sqrt{n+1}>\sqrt{n}>\sqrt{n-1}>0\Rightarrow\sqrt{n+1}+\sqrt{n}>2\sqrt{n}>\sqrt{n}+\sqrt{n-1}>0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}< \frac{1}{2\sqrt{n}}< \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\)\(\Rightarrow\frac{\left(n+1\right)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}< \frac{1}{2\sqrt{n}}< \frac{n-\left(n-1\right)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{n+1}-\sqrt{n}< \frac{1}{2\sqrt{n}}< \sqrt{n}-\sqrt{n-1}\)
\(\Rightarrow2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1}\)đpcm.
Từ đó ta có:
\(2\sqrt{2}-2< \frac{1}{\sqrt{1}}=1;\)
\(2\sqrt{3}-2\sqrt{2}< \frac{1}{\sqrt{2}}< 2\sqrt{2}-2;\)
\(2\sqrt{4}-2\sqrt{3}< \frac{1}{\sqrt{3}}< 2\sqrt{3}-2\sqrt{2};\)
...
\(2\sqrt{1006010}-2\sqrt{1006009}< \frac{1}{\sqrt{1006009}}< 2\sqrt{1006009}-2\sqrt{1006008};\)
Cộng từng vế ta được:
\(2\sqrt{1006009}-2< 2\sqrt{1006010}-2< 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{1006009}}< 2\cdot1003-1\)
\(2004< 2\sqrt{1006010}-2< 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{1006009}}< 2005\)đpcm
Một bất đẳng thức HAY và rất chặt! 1 tổng các phân thức của căn thức bị chặn bởi 2 số tự nhiên liên tiếp!