![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a, Ta có: \(\frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15}=\frac{n^5-n}{5}+\frac{n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+\frac{n}{3}+\frac{7n}{15}\)
\(=\frac{n^5-n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+n\)
Chứng minh \(n^5-n⋮5\Rightarrow\frac{n^5-n}{5}\in Z\)
\(n^3-n⋮3\Rightarrow\frac{n^3-n}{3}\in Z\)
\(\Rightarrow\frac{n^5-n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+n\in Z\)
=> Đpcm
b, Tương tự dùng tính chất chia hết
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\frac{a^3+3a^2+2a}{24}=\frac{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)}{24}\)
de thay h 3 so tu nhien lien tiep chia het cho 6
do a la so tu nhien chan nen hien nhien a phai chia het cho 4
\(\Rightarrow\)chia het cho 24\(\Rightarrow\) A la so nguyen
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài 1:
Có: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Có: \(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)
xong bn áp dụng lên trên lm tiếp
Bài 3:
theo bđt cô si ta có:
\(\sqrt{\frac{b+c}{a}\cdot1}\le\left(\frac{b+c}{a}+1\right):2=\frac{b+c+a}{2a}\)
=> \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\) (1)
Tương tự ta có :
\(\sqrt{\frac{b}{a+c}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\) (2)
\(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\) (3)
Cộng vế vs vế (1)(2)(3) ta có:
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow x^3+y^3+z^3=2\)
Ta có: \(x^3+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\ge3\sqrt[3]{x^3.\frac{4}{9}}=\sqrt[3]{12}x\)
Tương tự: \(y^3+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\ge\sqrt[3]{12}y\); \(z^3+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\ge\sqrt[3]{12}z\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3+4\ge\sqrt[3]{12}\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow x+y+z\le\frac{6}{\sqrt[3]{12}}=\sqrt[3]{18}\)
Ta có: \(P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\ge\frac{9}{\sqrt[3]{18}}=\frac{3\sqrt[3]{12}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt[3]{\frac{2}{3}}\) hay \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Ta có : \(x=\sqrt[3]{a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}+\sqrt[3]{a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}\)
\(\Rightarrow x^3=2a+3.\sqrt[3]{a^2-\left(\frac{a+1}{3}\right)^2\left(\frac{8a-1}{3}\right)}.x\)
\(=2a+3\sqrt[3]{a^2-\frac{\left(a^2+2a+1\right)\left(8a-1\right)}{27}}.x\)
\(=2a+3\sqrt[3]{\frac{27a^2-\left(8a^3+15a^2+6a-1\right)}{27}}.x\)
\(=2a+3\sqrt[3]{\frac{-8a^3+12a^2-6a+1}{27}}.x\)
\(=2a+3x.\sqrt[3]{\frac{\left(1-2a\right)^3}{3^3}}=2a+3x.\frac{1-2a}{3}=2a+x\left(1-2a\right)\)
\(\Rightarrow x^2-2a+x\left(2a-1\right)=0\)\(\Leftrightarrow x^3-2a+2ax-x=0\Leftrightarrow x\left(x-1\right)\left(x+1\right)+2a\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x+2a\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x^2+x+2a=0\end{cases}}\)
Vì \(a>\frac{1}{8}\) nên \(x^2+x+2a>0\Rightarrow\)vô nghiệm.
Vậy x - 1 = 0 => x = 1 thoả mãn x là số nguyên dương.
b) \(\sqrt[3]{x+24}+\sqrt{12-x}=6\) (ĐKXĐ : \(x\le12\))
\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{x+24}=6-\sqrt{12-x}\Leftrightarrow x+24=\left(6-\sqrt{12-x}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow x+24=6^3-3.6^2.\sqrt{12-x}+3.6.\left(12-x\right)-\left(\sqrt{12-x}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow x+24=216-108\sqrt{12-x}+216-18x-\sqrt{12-x}^3\)
\(\Leftrightarrow-19\left(12-x\right)+108\sqrt{12-x}+\sqrt{12-x}^3-180=0\)
Đặt \(y=\sqrt{12-x},y\ge0\) . Phương trình trên tương đương với :
\(-19y^2+108y+y^3-180=0\Leftrightarrow\left(y-10\right)\left(y-6\right)\left(y-3\right)=0\)
=> y = 10 (TM) hoặc y = 6 (TM) hoặc y = 3 (TM)
- Với y = 10 , ta có x = -88 (TM)
- Với y = 6 , ta có x = -24 (TM)
- Với y = 3 , ta có x = 3 (TM)
Vậy tập nghiệm của phương trình : \(S=\left\{-88;-24;3\right\}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Dấu ở giữa là cộng chứ nhỉ??
Đặt \(y=\sqrt[3]{a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}};z=\sqrt[3]{a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y^3+z^3=2a\\yz=\sqrt[3]{a^2-\frac{\left(a+1\right)^2\left(8a-1\right)}{27}}\\y+z=x\end{cases}=\sqrt[3]{\frac{27a^2-\left(8a^3+15a^2+6a-1\right)}{27}}=\sqrt[3]{\frac{\left(1-2a\right)^3}{27}}=\frac{1-2a}{3}}\)
Thay vào ta được:
\(x^3=\left(y+z\right)^3=y^3+z^3+3yz\left(y+z\right)\)\(=2a+3\frac{1-2a}{3}x=2a+\left(1-2a\right)x\)
\(\Leftrightarrow x^3-\left(1-2a\right)x-2a=0\)
\(\Leftrightarrow x^3-x+2ax-2a=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+2a+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x^2+2a+x=0\end{cases}}\)
Đến đây thì có lẽ là sẽ cm được \(x^2+2a+x>0\), mình chưa tìm ra cách cm.
KL : \(x=1\inℤ\)
A=a^3/24+a^2/8+a/12
= (a^3+ 3 a^2+ 2) /24 = a(a+1)(a+2)/24
ta cần CM a(a+1)(a+2) chia hết cho 24
để dễ hiểu mình sẽ trình bày cụ thể, còn nếu muốn rút gọn thì b có thể tự trình bày lại nhá :D
do a chắn => a=4k hoặc a=4k+2 (k thuộc Z)
TH1: a=4k; a+2=4k+2
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 4*2=8
và trong 3 số a, a+1, a+2 có 1 số chia hết cho 3 mà (3;8)=1
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 24
TH2: a=4k+2, a+2= 4k+4 (k thuộc Z)
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 4*2=8
và trong 3 số a, a+1, a+2 có 1 số chia hết cho 3 mà (3;8)=1
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 24
vậy A=a^3/24+a^2/8+a/12 luôn có giá trị nguyên
M = a^3+3a^2+2a/24
= (a^3+a^2)+(2a^2+2a)/24
= (a+1).(a^2+2a)/24 = a.(a+1).(a+2)/24
a chẵn nên a có dạng 2k ( k thuộc Z )
Khi đó : M = 2k.(2k+1).(2k+2)/24 = k.(2k+1).(k+1)/6
Đặt k.(k+1).(2k+1) = B
Ta thấy : k;k+1 là 2 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 =>B chia hết cho 2 (1)
Nếu k chia hết cho 3 => B chia hết cho 3
Nếu k chia 3 dư 1 => 2k+1 chia hết cho 3 => B chia hết cho 3
Nếu k chia 3 dư 2 => k+1 chia hết cho 3 => B chia hết cho 3
Vậy B chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) => B chia hết cho 6 ( vì 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau )
=> M = B/6 là 1 số nguyên