![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Vì \(a\) không chia hết cho \(3\) nên \(a\) có dạng \(a=3k+1\) hoặc \(a=3k+2\) \(\left(k\in Z\right)\)
Nếu \(a=3k+1\) thì \(a^2=\left(3k+1\right)^2=9k^2+6k+1\) chia \(3\) dư \(1\)
Nếu \(a=3k+2\) thì \(a^2=\left(3k+2\right)^2=9k^2+9k+8\) chia \(3\) dư \(1\)
Vậy, nếu \(a\) không chia hết cho \(3\) thì \(a^2\) chia \(3\) dư \(1\) \(\left(1\right)\)
Tương tự, ta cũng có nếu \(b\) không chia hết cho \(3\) thì \(b^2\) chia \(3\) dư \(1\) \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) , suy ra \(a^2-b^2\) chia hết cho \(3\) \(\left(3\right)\)
Ta có: \(a^6-b^6=\left(a^2-b^2\right)\left[\left(a^2\right)^2+a^2b^2+\left(b^2\right)^2\right]=\left(a^2-b^2\right)\left[\left(a^2\right)^2-2a^2b^2+\left(b^2\right)^2+3a^2b^2\right]\)
\(=\left(a^2-b^2\right)\left[\left(a^2-b^2\right)+3a^2b^2\right]\)
Theo chứng minh trên, \(a^2-b^2\) chia hết cho \(3\) nên \(\left(a^2-b^2\right)^2\) chia hết cho \(3\)
Lại có: \(3a^2b^2\) chia hết cho \(3\) với mọi \(a;b\in Z\)
nên \(\left(a^2-b^2\right)+3a^2b^2\) chia hết cho \(3\) \(\left(4\right)\)
Từ \(\left(3\right)\) và \(\left(4\right)\) suy ra \(\left(a^2-b^2\right)\left[\left(a^2-b^2\right)+3a^2b^2\right]\) chia hết cho \(3.3\) hay \(a^6-b^6\) chia hết cho \(9\) \(\left(đpcm\right)\)
a^6-b^6=(a^3-b^3)(a^3+b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)(a+b)(a^2-ab+b^2) dung hang dang thuc
Vi a,b ko chia het cho 3 (1)
suy ra TH1 a=3k+1, b=3q+2 hoacTH2 a=3k+2, b=3q+1
TH1
a+b=3k+3q+3 chia het cho 3
a^2 va b^2 la so chinh phuong nen chia 3 du 0 hoac 1 ma a,b ko chia het cho 3
suy ra a^2, b^2 chia 3 du 1
suy ra a^2+b^2 chia 3 du 2
Lai co a=3k+1, b=3q+2 suy ra ab chia 3 du 2
Tu do suy ra a^2-ab+b^2 chia het cho 3 (2)
tu 1 va 2 so chia het cho 9
TH2 tuong tu
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1. Gọi ƯCLN (a,c) =k, ta có : a=ka1, c=kc1 và (a1,c1)=1
Thay vào ab=cd được ka1b=bc1d nên
a1b=c1d (1)
Ta có: a1b \(⋮\)c1 mà (a1,c1)=1 nên b\(⋮\)c1. Đặt b=c1m ( \(m\in N\)*) , thay vào (1) được a1c1m = c1d nên a1m=d
Do đó: \(a^5+b^5+c^5+d^5=k^5a_1^5+c_1^5m^5+k^5c_1^5+a_1^5m^5\)
\(=k^5\left(a_1^5+c_1^5\right)+m^5\left(a_1^5+c_1^5\right)=\left(a_1^5+c_1^5\right)\left(k^5+m^5\right)\)
Do a1, c1, k, m là các số nguyên dương nên \(a^5+b^5+c^5+d^5\)là hợp số (đpcm)
2. Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể sư 0 hoặc 1.
Ta có \(a^2+b^2⋮3\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1,1+1, chỉ có 0+0 \(⋮\)3.
Vậy \(a^2+b^2⋮3\)thì a và b \(⋮3\)
b) Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 7 chỉ có thể dư 0,1,2,4 (thật vậy, xét a lần lượt bằng 7k, \(7k\pm1,7k\pm2,7k\pm3\)thì a2 chia cho 7 thứ tự dư 0,1,4,2)
Ta có: \(a^2+b^2⋮7\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1, 0+2, 0+4 , 1+1, 1+2, 2+2, 1+4, 2+4, 4+4; chỉ có 0+0 \(⋮7\). Vậy......
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: a^3+b^3=(a+b).(a^2-ab+b^2)
Mà a+b chia hết cho 3 và a,b thuộc Z.
=> điều phải chúng minh
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Phần này dễ, bạn cứ làm theo hướng của phần b là được. Mình sẽ làm phần b khó hơn.
b) Ta có: a3-a = a.(a-1).(a+1) (với a thuộc Z). Mà a.(a-1).(a+1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên
a.(a-1).(a+1) chia hết cho 3.
=> a3- a chia hết cho 3.
Chứng minh tương tự ta có b3 - b chia hết cho 3 và c3 - c chia hết cho 3 với mọi b,c thuộc N.
=> a3+b3+c3 - (a+b+c) luôn chia hết cho 3 với mọi a,b,c thuộc N.
Do đó nếu a3+b3+c3 chia hết cho 3 thì a+b+c chia hết cho 3 và điều ngược lại cũng đúng.
Vậy đpcm.
Tớ làm thêm một cách cho câu b nhé ;)
Ta có: \(a^3+b^3⋮3\Rightarrow a^3+b^3+3a^2b+3ab^2-3a^2b-3ab^2⋮3\) \(\Rightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)⋮3\)
Do a và b là các số tự nhiên => \(3ab\left(a+b\right)⋮3=>\left(a+b\right)^3⋮3\)
=> a+b chia hết cho 3
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
bài này thử là nhanh nhất (hi hi , mình đùa vui thôi chứ minh ko bít làm)
Ta có a + b \(⋮\)3
=> (a + b)3 \(⋮\)33
=> (a + b)3 \(⋮\)32
=> a3 + b3 + 3ab(a + b) \(⋮\)9 (1)
Vì a + b \(⋮\)3
=> 3ab(a + b) \(⋮\)9 (2)
Từ (1)(2) => a3 + b3 + 3ab(a + b) - 3ab(a + b) \(⋮\)9
=> a3 + b3 \(⋮\)9 (đpcm)
Ta có: \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
Mà \(a+b⋮3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)⋮3\Rightarrow⋮9\)
=> đpcm