K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

7 tháng 9 2017

\(S=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}\)

\(\Leftrightarrow2S=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}\)

\(>\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}+\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}\)

\(=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{81}-\sqrt{80}\)

\(=\sqrt{81}-\sqrt{1}=9-1=8\)

\(\Rightarrow S>\frac{8}{2}=4\)

7 tháng 9 2017

chiu nam nay moi len lop 8

Đặt \(A=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}\)

Ta có: \(\frac{1}{1+\sqrt{2}}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\right)\)

\(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}\right)\)

...

\(\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}+\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}\right)\)

Cộng các bất đẳng thức trên lại với nhau, ta được:

\(A>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}\right)\)

\(\Leftrightarrow A>\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+...+\frac{\sqrt{81}-\sqrt{80}}{81-80}\right)\)

\(\Leftrightarrow A>\frac{1}{2}\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{81}-\sqrt{80}\right)\)

\(\Leftrightarrow A>\frac{1}{2}\left(\sqrt{81}-1\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(9-1\right)=\frac{1}{2}\cdot8=4\)

\(\Leftrightarrow A>4\)(đpcm)

25 tháng 9 2020

dùng cách trục căn thức là ra

20 tháng 10 2020

Tổng quát ta có: Với \(n\inℕ\)ta có:

\(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{\left(n+1\right)-n}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

Với \(n=2\)\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\)

Với \(n=3\)\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}\)

...........................

Với \(n=79\)\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}=\sqrt{80}-\sqrt{79}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+.....+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}\)

\(=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+......+\sqrt{80}-\sqrt{79}\)

\(=\sqrt{80}-\sqrt{2}=\sqrt{40.2}-\sqrt{2}=\sqrt{40}.\sqrt{2}-\sqrt{2}\)

\(=\sqrt{2}.\left(\sqrt{40}-1\right)>\sqrt{2}.\left(\sqrt{36}-1\right)\)

\(=\sqrt{2}.\left(6-1\right)=5\sqrt{2}>4\)( đpcm )

27 tháng 6 2019

\(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+....\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\frac{1}{\sqrt{100}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\) (40 số)

................................................................\(>\frac{40}{10}=4\) 

=>đpcm

hc tốt

ko chắc lắm :)

20 tháng 4 2020

dhasuxbhfc;CX

21 tháng 9 2016

Ta chứng minh được \(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) với mọi n là số tự nhiên lớn hơn 0

Đặt \(A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}\)

Ta có \(2A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\)

\(>\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}+\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}\)

\(=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{4}+...+\sqrt{80}-\sqrt{79}+\sqrt{81}-\sqrt{80}\)

\(=\sqrt{81}-\sqrt{1}=8\)

\(\Rightarrow2A>8\Rightarrow A>4\)

21 tháng 9 2016

\(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

\(\rightarrow\)VT = \(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{80}-\sqrt{79}=\sqrt{80}-1>4\)

20 tháng 8 2017

Với mọi n thuộc N ta có :

\(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(n+1\right)-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

Áp dụng ta được :

\(A=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+....+\sqrt{80}-\sqrt{79}\)

\(=\left(\sqrt{2}+\sqrt{4}+...+\sqrt{80}\right)-\left(\sqrt{1}+\sqrt{3}+...+\sqrt{79}\right)\)

Đến đây tịt òy ai vô giải nối với :((((((((((

20 tháng 8 2017

Ta có:

\(2A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}\)

\(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}+\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}\)

\(=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{81}-\sqrt{80}\)

\(=\sqrt{81}-\sqrt{1}=9-1=8\)

\(\Rightarrow A>4\)

    

23 tháng 5 2018

Với mọi n nguyên dương ta có:

\(\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=1\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

Với k nguyên dương thì 

\(\frac{1}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}>\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}>\frac{1}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\sqrt{k}-\sqrt{k-1}+\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\)

\(=\sqrt{k+1}-\sqrt{k-1}\)(*)

Đặt A = vế trái. Áp dụng (*) ta có:

\(\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}>\sqrt{3}-\sqrt{1}\)

\(\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}>\sqrt{5}-\sqrt{3}\)

...

\(\frac{2}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\sqrt{81}-\sqrt{79}\)

Cộng tất cả lại

\(2A=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+....+\frac{2}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\sqrt{81}-1=8\Rightarrow A>4\left(đpcm\right)\)

3. 

Theo bất đẳng thức cô si ta có: 

\(\sqrt{b-1}=\sqrt{1.\left(b-1\right)}\le\frac{1+b-1}{2}=\frac{b}{2}\Rightarrow a.\sqrt{b-1}\le\frac{a.b}{2}\)

Tương tự \(\Rightarrow b.\sqrt{a-1}\le\frac{a.b}{2}\Rightarrow a.\sqrt{b-1}+b.\sqrt{a-1}\le a.b\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=2\)