K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 6 2023

Lời giải:

Đặt $a-b=x; b-c=y, c-a=z$ thì $x+y+z=0$.

ĐKĐB tương đương với:

$x^2+y^2+z^2=(y-z)^2+(z-x)^2+(x-y)^2$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz)$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2(xy+yz+xz)$
$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)$

$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)=(x+y+z)^2=0$

$\Rightarrow x=y=z=0$

$\Leftrightarrow a-b=b-c=c-a=0$

$\Leftrightarrow a=b=c$ (ta có đpcm)

14 tháng 6 2023

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=x\\b-c=y\\c-a=z\end{matrix}\right.\) thì ta có \(x+y+z=0\). Điều kiện đã cho tương đương \(x^2+y^2+z^2=\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2+\left(x-y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=4\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=4\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow4\left(xy+yz+zx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=y=z=0\)

\(\Leftrightarrow a-b=b-c=c-a=0\)

\(\Leftrightarrow a=b=c\)

Ta có đpcm

AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 7 2023

Lời giải:

Đặt $a-b=x; b-c=y; c-a=z$ thì $x+y+z=0$

Khi đó. Điều kiện đề tương đương với:

$x^2+y^2+z^2=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2xz+x^2$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz)$

$\Leftrightarrow 2(xy+yz+xz)=x^2+y^2+z^2$

$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=(x+y+z)^2=0$

$\Rightarrow x=y=z=0$

$\Rightarrow a-b=b-c=c-a=0$
$\Rightarrow a=b=c$

15 tháng 10 2021

1.

\(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4>0\\ \Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2< 0\\ \Leftrightarrow\left(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2\right)-4a^2b^2< 0\\ \Leftrightarrow\left(a^2+b^2-c^2\right)^2-4a^2b^2< 0\\ \Leftrightarrow\left(a^2+b^2-c^2-2ab\right)\left(a^2+b^2-c^2+2ab\right)< 0\\ \Leftrightarrow\left[\left(a-b\right)^2-c^2\right]\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]< 0\\ \Leftrightarrow\left(a-b+c\right)\left(a-b-c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)< 0\left(1\right)\)

Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tg nên \(\left\{{}\begin{matrix}a+c>b\\a-b< c\\a+b>c\\a+b+c>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b+c>0\\a-b-c< 0\\a+b-c>0\\a+b+c>0\end{matrix}\right.\)

Do đó \(\left(1\right)\) luôn đúng (do 3 dương nhân 1 âm ra âm)

Từ đó ta được đpcm

 

 

 

15 tháng 10 2021

uầy e đọc chả hỉu j lun :(

4 tháng 7 2015

a + b = c => (a + b)² = c² <=> a²+ b² + 2ab = c² 
=> c^4 = (a² + b² + 2ab)² 
=> c^4 = a^4 + b^4 + 6a²b² + 4a^3.b + 4a.b^3 

vậy: a^4 + b^4 + c^4 = 2a^4 + 2b^4 + 6a²b² + 4a^3.b + 4a.b^3 
= 2a^4 + 2a²b² + 4a^3.b + 2b^4 + 2a²b² + 4a.b^3 + 2a²b² 
= 2a²(a² + b² + 2ab) + 2b²(b² + a² + 2ab) + 2a²b² 
= 2a²(a + b)² + 2b²(a + b)² + 2a²b² 
= 2a²b² + 2(a + b)²(a² + b²) 
= 2a²b² + 2c²(a² +b²) 
= 2a²b² + 2b²c² + 2c²a² (đpcm) 

4 tháng 7 2015

 gt: a + b = c => (a + b)² = c² <=> a²+ b² + 2ab = c² 
=> c^4 = (a² + b² + 2ab)² 
=> c^4 = a^4 + b^4 + 6a²b² + 4a^3.b + 4a.b^3 

vậy: a^4 + b^4 + c^4 = 2a^4 + 2b^4 + 6a²b² + 4a^3.b + 4a.b^3 
= 2a^4 + 2a²b² + 4a^3.b + 2b^4 + 2a²b² + 4a.b^3 + 2a²b² 
= 2a²(a² + b² + 2ab) + 2b²(b² + a² + 2ab) + 2a²b² 
= 2a²(a + b)² + 2b²(a + b)² + 2a²b² 
= 2a²b² + 2(a + b)²(a² + b²) 
= 2a²b² + 2c²(a² +b²) 
= 2a²b² + 2b²c² + 2c²a² (đpcm) 

25 tháng 5 2018

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\)

=> bc+ac+ab=0

ta có

\(bc+ac=-ab\)

<=> \(\left(bc+ac\right)^2=a^2b^2\)

<=> \(b^2c^2+a^2c^2+2abc^2=a^2b^2\)

<=> \(b^2c^2+a^2c^2-a^2b^2=-2abc^2\)

tương tự

\(a^2b^2+b^2c^2-c^2a^2=-2ab^2c\)

\(c^2a^2+a^2b^2-b^2c^2=-2a^2bc\)

thay vào E ta đc

\(E=\dfrac{-a^2b^2c^2}{2ab^2c}-\dfrac{a^2b^2c^2}{2abc^2}-\dfrac{a^2b^2c^2}{2a^2bc}\)

=\(-\dfrac{ac}{2}-\dfrac{ab}{2}-\dfrac{bc}{2}=\dfrac{-\left(ac+ab+bc\right)}{2}=0\) (vì ac+bc+ab=0 cmt)

14 tháng 1 2022
Cho sao nha nhưng tui ko bít làm

Trước hết ta chứng minh các bđt : \(a^7+b^7\ge a^2b^2\left(a^3+b^3\right)\left(1\right)\)

Thật vậy:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4\right)\ge0\)(luôn đúng)

Lại có : \(a^3+b^3+1\ge ab\left(a+b+1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+1\right)\)

mà \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+1\right)\)(luôn đúng)

Áp dụng các bđt trên vào bài toán ta có

 ∑\(\frac{a^2b^2}{a^7+a^2b^2+b^7}\le\)\(\frac{a^2b^2}{a^3b^3\left(a+b+c\right)}\le\)\(\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

Bất đẳng thức được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

28 tháng 2 2020

Em xem lại dòng thứ 4 và giải thích lại giúp cô với! ko đúng hoặc bị nhầm

30 tháng 1 2017

(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = (a+b-2c)^2 + (b+c-2a)^2 + (c+a-2b)^2

<=> (a+b-2c)^2 - (a-b)^2 + (b+c-2a)^2 - (b-c)^2 + (c+a-2b)^2 - (c-a)^2 = 0

<=> (2b-2c)(2a-2c) + (2c-2a)(2b-2a) + (2a-2b)(2c-2b) = 0

<=> (b-c)(a-c) + (c-a)(b-a) + (a-b)(c-b) = 0

<=> ab - ac - bc + c^2 + bc - ab - ac - a^2 + ac - bc - ab + b^2 = 0

<=> a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac = 0

<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0

<=> (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ac + a^2) = 0

<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0

<=> (a-b)^2=0; (b-c)^2=0; (c-a)^2=0

<=> a-b=0; b-c=0; c-a=0

<=> a=b=c (đpcm)