Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lấy z là trung bình cộng của x và y:
z = (x + y)/2
z là số hữu tỉ vì nó có thể biểu diễn được thành phân số có tử số và mẫu số là số nguyên. Dễ dạng chứng minh được:
x < (x + y)/2 < y
a) Ta có : \(|x+y|\le|x|+|y|\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le\left(|x|+|y|\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+2.x.y+y^2\le x^2+2.|x|.|y|+y^2\)
\(\Leftrightarrow xy\le|x||y|\)
Do bất đẳng thức cuối đúng nên bất đẳng thức đầu đúng.
Dấu bằng xảy ra khi \(xy=|x||y|\Rightarrow xy\ge0\)
b) Từ câu (a) ta có: \(|x-y|+|y|\ge|x-y+y|=|x|\)
\(\Rightarrow|x-y|\ge|x|-|y|\)
Dấu bằng xảy ra khi A-B và B cùng dấu.
Giả sử x;y;z đều chẵn
\(\Rightarrow x=2a;y=2b;z=2c\Rightarrow xyz=8abc⋮4\)
Nếu x;y;z đều lẻ => (x-y); (y-z); (z-x) chẵn
\(\Rightarrow\left(x-y\right)=2a;\left(y-z\right)=2b;\left(z-x\right)=2c\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=8abc⋮4\)
Nếu trong 3 số x;y;z có ít nhất 1 số lẻ giả sử x lẻ
=> xyz chẵn và \(xyz=2a\)
=> (y-z) chẵn và \(y-z=2b\)
\(\Rightarrow xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=\)
\(=2a.\left(x-y\right).2b.\left(z-x\right)=4ab\left(x-y\right)\left(z-x\right)⋮4\)
\(\Rightarrow xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮4\forall x;y;z\)
Nếu 1 trong 3 số x; y; z chia hết cho 3
\(\Rightarrow xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮3\)
Nếu không có số nào chia hết cho 3 ta có một số khi chia cho 3 dư 1 hoặc 2 => trong 3 số có 2 số đồng dư
=> 1 trong 3 số (x-y); (y-z); (z-x) có 1 số chia hết cho 3
\(\Rightarrow xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮3\)
\(\Rightarrow xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮3\forall x;y;z\)
Mà 3 và 4 là 2 số nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮3.4=12\forall x;y;z\)
trong vở bài tập toán lớp 7 tập 1 xoắn 11 bài 115 có bài tương tự đó bạn
a) Vì 2 vế ko âm nên bình phương cả 2 vế ta dc :
\(\left|x+y\right|^2\le\left|x\right|^2+\left|y\right|^2\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right).\left(x+y\right)\le\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\)
\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2\le x^2+2\left|x\right|\left|y\right|+y^2\)
\(\Rightarrow xy\le\left|xy\right|\) (Luôn đúng với mọi \(x,y\))
Vậy bất đẳng thức trên đúng. Dấu "=" xảy ra khi \(\left|xy\right|=xy\) \(\Leftrightarrow x,y\) cùng dấu
Vậy \(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\rightarrowđpcm\)
b) Áp dụng câu a ta có :
\(\left|x-y\right|+\left|y\right|\ge\left|x-y+y\right|=\left|x\right|\Rightarrow\left|x-y\right|\ge\left|x\right|-\left|y\right|\)
Vậy \(\left|x-y\right|\ge\left|x\right|-\left|y\right|\rightarrowđpcm\)
|x + y| ≤ |x| + |y|
Với mọi x, y ∈ Q ta luôn có: x ≤ |x| và -x ≤ |x|
y ≤ |y| và -y ≤ |y|
=> x + y ≤ |x| + |y| và -x-y ≤ |x| + |y| hay x + y ≥ - (|x| + |y|)
Do đó - (|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y|
Vậy |x + y| ≤ |x| + |y|
Chúc bạn học tốt!!!