Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Rightarrow A=2^{2n}-1=4^n-1=\left(4-1\right)\left(4^{n-1}+4^{n-2}+...+4+1\right)=3\cdot\left(4^{n-1}+4^{n-2}+...+4+1\right)⋮3\forall n\in N\)
Ta có: \(\sqrt{a^3+b^3+c^3}=\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}=a+b+c\)(với a,b,c dương)
=>với mọi n dương ta cũng viết biểu thức đc dưới dạng:
\(S_n=\left(1+2+3+...+n\right)^2\)
Đặt \(A=1+2+3+....+n\)
Tổng A có số số hạng theo n là:
\(\left(n-1\right):1+1=n\)(số)
Tổng A theo n là:
\(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\).Thay A vào ta có:
\(\Rightarrow S_n=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)
Ta có công thức sau:
\(1+2+3+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
\(\Rightarrow\left(1+2+3+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\) (*)
\(\Leftrightarrow1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\) (1)
Cần chứng minh (1) đúng với mọi n dương
Với \(n=1;n=2\) thì đẳng thức đúng
Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\)
Nghĩa là: \(1^3+2^3+...+k^3=\left(1+2+...+k\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\)
Viết lại đẳng thức cần chứng minh \(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+...+k+k+1\right)^2\)(**)
Ta cũng có công thức tương tự (*)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(k+k\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3=\frac{\left(k^2+3k+2\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(k^2+3k+2\right)^2-\left(k^2+k\right)^2=4\left(k+1\right)^3\)
\(\Leftrightarrow4k^3+12k^2+12k+4=4\left(k+1\right)^3\)
Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.
\(A=n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3⋮9\) (1)
\(A=n^3+\left(n^3+3n^2+3n+1\right)+\left(n^3+6n^2+12n+8\right)\)
\(A=3n^3+9n^2+15n+9\)
\(=3\left(n^3+3n^2+5n+3\right)\)
Đặt \(B=n^3+3n^2+5n+3\)
\(=n^3+n^2+2n^2+2n+3n+3\)
\(=n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left(n^2+2n+3\right)\)
\(=\left(n^2+2n\right)\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)\)
\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3\left(n+1\right)\)
Ta thấy \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3\) ( tích 3 số tự nhiên liên tiếp )
\(\Rightarrow3\left(n+1\right)⋮3\)
\(\Rightarrow B⋮3\)
\(\Rightarrow B=3k\left(k\in N\right)\)
Vậy \(A=3B=3.3k=9k⋮9\left(dpcm\right)\)
\(a,\left(2x-3\right)n-2n\left(n+2\right)\)
\(=n\left(2x-3-2n-4\right)\)
\(=-7n\)
Vì \(-7⋮7\Rightarrow-7n⋮7\) => ĐPCM
\(b,n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)\)
\(=n\left(2n-3-2n-2\right)\)
\(=-5n⋮5\) (ĐPCM)
Rút gọn
\(a,\left(3x-5\right)\left(2x+11\right)-\left(2x+3\right)\left(3x+7\right)\)
\(=6x^2+33x-10x-55-6x^2-14x-9x-21\)
\(=-76\)
\(b,\left(x+2\right)\left(2x^2-3x+4\right)-\left(x^2-1\right)\left(2x+1\right)\)
\(=2x^3-3x^2+4x+4x^2-6x+8-2x^3-x^2+2x+1\)
\(=9\)
\(c,3x^2\left(x^2+2\right)+4x\left(x^2-1\right)-\left(x^2+2x+3\right)\left(3x^2-2x+1\right)\)
\(=3x^4+6x^2+4x^3-4x-3x^4+2x^3-x^2-6x^3+4x^2-2x-9x^2+6x-3\)
= -3
Ta có :
\(1-\frac{3}{n\left(n+2\right)}=\frac{n^2+2n-3}{n\left(n+2\right)}=\frac{\left(n-1\right)\left(n+3\right)}{n\left(n+2\right)}\)
\(\Rightarrow A=\frac{1.5}{2.4}.\frac{2.6}{3.5}...\frac{\left(n-1\right)\left(n+3\right)}{n\left(n+2\right)}\)
\(=\left(\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{3}{4}...\frac{n-1}{n}\right)\left(\frac{5}{4}.\frac{6}{5}.\frac{7}{6}...\frac{n+3}{n+2}\right)\)
\(=\frac{1}{n}.\frac{n+3}{4}=\frac{n+3}{n}.\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\left(dpcm\right)\)
Tất cả các đẳng thức trên đều được chứng minh theo phương pháp quy nạp
Đặt n = k thì có đẳng thức
Chứng minh rằng n = k+1 cũng đúng ( vế trái (k+1) = vế phải (k+1) )
cái này đã đc những nhà toán học cm rồi trong phần quy nạp nâng cao và các chuyên đề toán 8 có ghi (mấy trang cuối)
\(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2\)(*)
Với \(n=1;n=2\) (*) đúng
Giả sử (*) đúng với n=k khi đó (*) thành
\(1^3+2^3+...+k^3=\left(1+2+...+k\right)^2\)
Thật vậy giả sử (*) đúng với n=k+1 khi đó (*) thành
\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+...+k+k+1\right)^2\left(1\right)\)
Cần chứng minh (1) đúng, mặt khác ta lại có
\(\left(1+2+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2=\frac{\left(n^2+n\right)^2}{4}\)
Đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\(\frac{\left(k^2+k\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3=\frac{\left(k^2+3k+2\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow4k^3+12k^2+12k+4=4\left(k+1\right)^3\)
\(\Leftrightarrow4\left(k+1\right)^3=4\left(k+1\right)^3\)
Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm
Vậy \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)
Ta có : \(1^3+2^3+3^3+....+n^3\)
=\(\left(1+2+3+4+...+n\right)^2\)
=\(\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2\) (đpcm)