Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^8=\left[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\right]^4=\left[a+2\sqrt{ab}+b\right]^4\)
Áp dụng bđt cô - si, ta có:
\(\left[a+2\sqrt{ab}+b\right]^4\ge\left[2\sqrt{2\left(a+b\right)\sqrt{ab}}\right]^4=2^4.2^2.ab.\left(a+b\right)^2\)
\(=64ab\left(a+b\right)^2\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a, Đặt \(\sqrt[4]{a}=x;\sqrt[4]{b}=y.\)Bất đẳng thức ban đầu trở thành: \(\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le xy.\)
ta có : \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le\frac{2x^2y^2}{2xy}=xy.\)(đpcm )
dấu " = " xẩy ra khi x = y > 0
vậy bất đăng thức ban đầu đúng. dấu " = " xẩy ra khi a = b >0
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a+\sqrt{b}}\mp\sqrt{a-\sqrt{b}}\right)^2=\left(\sqrt{2\left(a\mp\sqrt{a^2-b}\right)}\right)^2\Leftrightarrow a+\sqrt{b}+a-\sqrt{b}\mp2\sqrt{\left(a+\sqrt{b}\right)\cdot\left(a-\sqrt{b}\right)}=2a\mp2\sqrt{a^2-b}\Leftrightarrow2a\mp2\sqrt{a^2-b}=2a\mp2\sqrt{a^2-b}\) (luôn đúng) \(\Rightarrowđpcm\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Câu b bạn sửa lại đề
\(a,VT=\left[1+\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}\right]\left[1-\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}\right]\\ =\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{x}\right)=1-x=VP\\ b,VT=\dfrac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}+\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\\ =\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{a}+\sqrt{b}=2\sqrt{a}=VP\)
a: \(=\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{x}\right)=1-x\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
cau c í mk thấy bn chép sai đề nên mk sửa lại đề rồi bạn xem lại đề rồi so với bài làm của mk nha có j ko hiểu thì ib mk nha
\(a)VT = \dfrac{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2} - 4\sqrt a }}{{\sqrt a - 1}} + \dfrac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a }}\\ = \dfrac{{a + 2\sqrt a + 1 - 4\sqrt a }}{{\sqrt a - 1}} + \dfrac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a }}\\ = \dfrac{{a - 2\sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}} + \sqrt a + 1\\ = \dfrac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt a - 1}} + \sqrt a + 1\\ = \sqrt a - 1 + \sqrt a + 1\\ = 2\sqrt a = VP (đpcm) \)
\(b)VT = \dfrac{{x\sqrt x + y\sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }} - {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {x - \sqrt {xy} + y} \right)}}{{\sqrt x + \sqrt y }} - \left( {x - 2\sqrt {xy} + y} \right)\\ = x - \sqrt {xy} + y - x + 2\sqrt {xy} - y\\ = \sqrt {xy} (đpcm)\\ c)VT = \dfrac{{a\sqrt b - b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\dfrac{{a - b}}{{\sqrt a + \sqrt b }}\\ = \dfrac{{\sqrt {ab} \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}{{\sqrt {ab} }}.\dfrac{{\sqrt a + \sqrt b }}{{a - b}}\\ = \sqrt a - \sqrt b .\dfrac{{\sqrt a + \sqrt b }}{{a - b}}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{a - b}}\\ = \dfrac{{a - b}}{{a - b}} = 1 (đpcm)\\ d)VT = \left[ {\dfrac{{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2} + 4\sqrt {ab} }}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \dfrac{{a\sqrt b - b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}} \right]:\sqrt b \\ = \dfrac{{a - 2\sqrt {ab} + b + 4\sqrt {ab} }}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \dfrac{{\sqrt {ab} \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}{{\sqrt {ab} }}:\sqrt b \\ = \dfrac{{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2}}}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right):\sqrt b \\ = \sqrt a + \sqrt b - \sqrt a + \sqrt b :\sqrt b \\ = \dfrac{{2\sqrt b }}{{\sqrt b }} = 2 (đpcm) \)
Câu c đề sai (đã sửa)
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^8=\left[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\right]^4=\left[a+b+2\sqrt{ab}\right]^4\)
áp dụng BDT AM-GM
\(=>\left[a+b+2\sqrt{ab}\right]^4\ge\left[2\sqrt{\left(a+b\right)\left(2\sqrt{ab}\right)}\right]^4=64ab\left(a+b\right)^2\)