Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
C1:Biến đổi tương đương
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\dfrac{x}{xy}+\dfrac{y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy\ge4xy\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)
C2:Dùng AM-GM
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\);\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{y}}=2\sqrt{\dfrac{1}{xy}}\)
Nhân theo vế 2 BĐT
\(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\ge4\sqrt{xy\cdot\dfrac{1}{xy}}=4\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
C3:Dùng Cauchy-Schwarz (dạng Engel)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\dfrac{4}{x+y}\)
-3 cách trên đều có dấu "=" khi \(x=y\)
1: \(P=\left(\dfrac{2x}{x^2-9}-\dfrac{1}{x+3}\right):\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{x-1}{x^2-3x}\right)\)
\(=\left(\dfrac{2x}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\dfrac{1}{x+3}\right):\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{x-1}{x\cdot\left(x-3\right)}\right)\)
\(=\dfrac{2x-x+3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}:\dfrac{2\left(x-3\right)-x+1}{x\left(x-3\right)}\)
\(=\dfrac{x+3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\cdot\dfrac{x\left(x-3\right)}{2x-6-x+1}\)
\(=\dfrac{x}{x-5}\)
a: Thiếu vế phải rồi bạn
b: \(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}>=\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2>=4xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2>=0\)(luôn đúng)
a/ ĐK: $x\ne -5$
$\dfrac{6x^2+30x}{4}=\dfrac{6x(x+5)}{4}=\dfrac{3x(x+5)}{2}$
Đề này sai
b/ ĐK: $x\ne \pm 1$
$\dfrac{(x+2)(x+1)}{x^2-1}\\=\dfrac{(x+2)(x+1)}{(x-1)(x+1)}\\=\dfrac{x+2}{x-1}$
$\to$ ĐPCM
Giải:
\(x^8-x^5-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^4\left(x^8-x^5-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^4}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^{12}-x^9-x^3+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^9\left(x^3-1\right)-\left(x^3-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3-1\right)\left(x^9-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3-1\right)\left(x^3-1\right)\left(x^6+x^3+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3-1\right)^2\left(x^6+x^3+1\right)\ge0\) (luôn đúng)
Vậy ...
Cảm ơn ạ