Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(a^2+a+1=a^2+a+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)
\(a^2-a+1=a^2-a+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+a+1}{a^2-a+1}>0\forall a\in R\)
\(A=\left(x-1\right)\left(x-3\right)+2=x^2-4x+3+2=\left(x^2-4x+4\right)+1=\left(x-2\right)^2+1\ge1>0\forall x\)
Ta có: a2 +a+1=(a2 +2a1/2+1/4 )+ 3/4 =(a+1/2)2 +3/4 >0
Tương tự: a2 -a+1=( a-1/2 )2 +3/4 >0
Vậy suy ra điều cần cm
Ta có :a ²+a+1=(a ²+a+1/4)+3/4=(a+1/2) ²+3/4
a ²-a+1=(a ²-a+1/4)+3/4=(a-1/2) ²+3/4
Vì (a-1/2) ² ≥ 0;(a-1/2)²≥ 0 với mọi a nên suy ra điều phải chứng minh
TH1: a là số tự nhiên ⇒ a ≥ 0 ⇒ a + 1 > 0
⇒ a. (a + 1) > 0 ⇒ a. (a + 1) + 1 > 0
TH2: a là số nguyên âm và a ≤ -2 ⇒ a + 1 < 0
⇒ a. (a + 1) > 0 ⇒ a. (a + 1) + 1 > 0
TH3: a = -1 ⇒a. (a + 1) + 1 = -1.0 + 1 = 1 > 0
Ta có: \(a\left(a+1\right)+1\)
\(=a^2+a+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\)
\(=\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\forall a\)
Vơi mọi a, b ta luôn có: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+1\ge2a\\b^2+1\ge2b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{a^2+1}\le\dfrac{1}{2}\\\dfrac{b}{b^2+1}\le\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Cộng hai vế, ta được đpcm. Dấu '=' xảy ra khi a = b = 1
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\begin{cases}
a \leq \dfrac{a^{2}+1}{2}\\
b \leq \dfrac{b^{2}+1}{2}
\end{cases}\) (BĐT này đúng với mọi a,b)
Cộng hai vế này với nhau ta được:
\(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}\)\(\leq\) \(\dfrac{\dfrac{a^2+1}{2}}{a^2+1}+\dfrac{\dfrac{b^2+1}{2}}{b^2+1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}\) \(\leq\) 1
Dấu'=' xảy ra khi a=b=1
\(\dfrac{a^2+a+1}{a^2-a+1}=\dfrac{a^2+2.a.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}{a^2-2.a.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}\)
\(=\dfrac{\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}{\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}>0\) ( luôn đúng)