Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2) -Ta có: MA+MB>AB,MB+MC>BC,MC+MD>CD,MD+MA>AD (Bất đẳng thức tam giác).
2.(MA+MB+MC+MD)>AB+BC+CD+AD
MA+MB+MC+MD>AB+BC+CD+AD/2 (1).
-Ta có: MA+MB+MC+MD=(MA+MC)+(MB+MD)=AC+BD
Mà AC<AB+BC, AC<AD (Bất đẳng thức tam giác).
2AC<AB+BC+CD+AD
Tương tự: 2BD<AB+BC+CD+AD
Do đó: 2AC+2BD<2.(AB+BC+CD+AD)
AC+BD<AB+BC+CD+AD
MA+MB+MC+MA<AB+BC+CD+AD (2)
Từ (1) và (2) AB+BC+CD+AD/2<MA+MB+MC+MA<AB+BC+CD+AD
. a) Sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các tam giác OAB, OBC,OCD và ODA.
b) Chứng minh tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi tứ giác sử dụng kết quả của a).
Chứng minh tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các tam giác ABC, ADC, ABD và CBD
Theo câu 1 thì AC<p và BD < p => AC + BD < 2p tổng 2 đường chéo nhỏ hơn chu vi (đpcm)
giao của AC và BD là O.
trong tam giác OAB có OB + OA > AB , trong tam giác OBC có OB + OC > BC
trong tam giác OADcó OD + OA > AD , trong tam giác ODC có OD + OC > DC
cổng 4 bất đẳng thức cùng chiề này lại ta có:
2.OB + 2.OD + 2.OA + 2.OC > AB + BC + CD + DA
<=> 2 BD + 2 AC > 2p <=> BD + AC > p tổng 2 đường chéo lớn hơn nửa chu vi (đpcm)
*Theo câu 1 thì AC<p và BD < p => AC + BD < 2p tổng 2 đường chéo nhỏ hơn chu vi (đpcm)
* giao của AC và BD là O.
trong tam giác OAB có OB + OA > AB , trong tam giác OBC có OB + OC > BC
trong tam giác OADcó OD + OA > AD , trong tam giác ODC có OD + OC > DC
cổng 4 bất đẳng thức cùng chiề này lại ta có:
2.OB + 2.OD + 2.OA + 2.OC > AB + BC + CD + DA
<=> 2 BD + 2 AC > 2p <=> BD + AC > p tổng 2 đường chéo lớn hơn nửa chu vi (đpcm)
Giả sử tứ giác đó là ABCD , hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O
- Theo bất đẳng thức tam giác, ta có : \(AO+OB>AB\) ; \(OB+OC>BC\) ; \(OC+OD>CD\) ; \(OD+OA>AD\)
\(\Rightarrow OA+OB+OB+OC+OC+OD+OD+OA>AB+BC+CD+DA\)
\(\Leftrightarrow2\left(AC+BD\right)>AB+BC+CD+AD\Leftrightarrow AC+BD>\frac{AB+BC+CD+AD}{2}\)
- Theo bất đẳng thức tam giác : \(AB+BC>AC\) ; \(AD+DC>AC\); \(AB+AD>BD\) ;
\(BC+CD>BD\)
\(\Rightarrow AB+BC+AD+DC+AB+AD+BC+CD>AC+AC+BD+BD\)
\(\Leftrightarrow2\left(AB+BC+CD+DA\right)>2\left(AC+BD\right)\Leftrightarrow AB+BC+CD+DA>AC+BD\)
Gọi O là giao điểm của AC và BD.Ta có :
OA + OB > AB , OB + OC > AC ; OC + CD > CD , OD + OA > AD.Cộng từng vế các bất đẳng thức trên rồi chia cho 2 ,ta được \(AC+BD>\frac{AB+BC+CD+AD}{2}\)
Vậy tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi
Kết hợp : AC + BD < AB + BC + CD + DA
Vậy \(\frac{AB+BC+CD+AD}{2}< AC+BD< AB+BC< CD+DA\)
Đặt độ dài a = AB, b = BC, c = CD, d = AD
Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD.
* Trong ∆ OAB, ta có:
OA + OB > a (bất đẳng thức tam giác) (1)
* Trong ∆ OCD, ta có:
OC + OD > c (bất đẳng thức tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
OA + OB + OC + OD > a + c hay AC + BD > a + c (*)
* Trong ∆ ΔOAD, ta có: OA + OD > d (bất đẳng thức tam giác) (3)
* Trong ∆ OBC, ta có: OB + OC > b (bất đẳng thức tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra:
OA + OB + OC + OD > b + d hay AC + BD > b + d (**)
Từ (*) và (**) suy ra: 2(AC + BD) > a + b + c + d
* Trong ∆ ABC, ta có: AC < AB + BC = a + b (bất đẳng thức tam giác)
* Trong ∆ ADC, ta có: AC < AD + DC = c + d (bất đẳng thức tam giác)
Suy ra: 2AC < a + b + c + d
* Trong ∆ ABD, ta có: BD < AB + AD = a + d (bất đẳng thức tam giác)
* Trong ∆ BCD, ta có: BD < BC + CD = b + c (bất đẳng thức tam giác)
Suy ra: 2BD < a + b + c + d
Từ (5) và (6) suy ra: AC + BD < a + b + c + d
Xét tam giác ABM; tam giác BCM; tam giác ADM; tam giác CDM ta có:
\(AM+BM>AB;BM+CM>BC;AM+DM>AD;CM+DM>CD\)
(áp dụng bất đẳng thức tam giác)
\(\Rightarrow AM+BM+BM+CM+AM+DM+CM+DM>AB+BC+AD+CD\)
\(\Rightarrow2.\left(AC+BD\right)>AB+BC+CD+AD\)(1)
\(\Rightarrow AC+BD>\dfrac{AB+BC+CD+AD}{2}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\dfrac{AB+BC+CD+AD}{2}< AC+BD< AB+BC+CD+AD\)
Vậy trong 1 tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy(đpcm)
Chúc bạn học tốt!!!