HP
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
27 tháng 7 2019
Ta có : a + b + c = abc
\(\frac{\Rightarrow\left(a+b+c\right)}{abc}=\frac{abc}{abc}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ab}=1\)
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=2^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}=4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2.\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2=4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=2\)
N
27 tháng 7 2019
\(\text{Ta có: }\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{abc}{abc}=1\left(\text{vì }a+b+c=abc\right)\)
\(\text{Lại có: }\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2.\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=4-2.1=2\left(\text{ vì }\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=1\right)\)
Vậy ...
PT
1
2 tháng 9 2016
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac.
(1/a + 1/b + 1/c)² = 1/a² + 1/b² + 1/c² + 2(1/ab + 1/bc + 1/ac) = 4
<=> 1/a² + 1/b² + 1/c² + 2(bcac + abac + abbc)/(a²b²c²) = 4
<=> 1/a² + 1/b² + 1/c² + 2abc(a + b + c)/(a²b²c²) = 4
<=> 1/a² + 1/b² + 1/c² + 2 = 4
(vi` abc(a + b + c) = a² b² c²)
<=> 1/a² + 1/b² + 1/c² = 2 !!
S
10 tháng 8 2018
Cho abc=0 thì không chứng minh được, a+b+c=0 là đủ rồi
Ta có: a+b+c=0 => a+b=-c
=>(a+b)2=(-c)2
=>a2+2ab+b2=c2
=>a2+b2-c2=-2ab
Tương tự ta có: b2+c2-a2=-2bc ; c2+a2-b2=-2ca
=>\(\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}=-\frac{1}{2bc}-\frac{1}{2ca}-\frac{1}{2ab}=\frac{a+b+c}{-2abc}=0\) (đpcm)
D
31 tháng 8 2018
Cho \(abc=0\)thì không chứng minh được, \(a+b+c=0\)là đủ rồi.
Ta có: \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=\left(-c\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2=c^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\)
Tương tự ta có: \(b^2+c^2-a^2=-2ab;c^2+a^2-b^2=-2ca\)
\(\Rightarrow\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}=-\frac{1}{2bc}-\frac{1}{2ca}-\frac{1}{2ab}=\frac{a+b+c}{-2abc}=0\)
VT
Chứng minh rằng nếu a,b,c \(\ge\)0 và abc=1 thì
\(\dfrac{1}{2+a}+\dfrac{1}{2+b}+\dfrac{1}{2+c}\le1\)
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 4 2021
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+2\right)\left(b+2\right)+\left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(c+2\right)\left(a+2\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\le1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\le1\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+12\le2\left(ab+bc+ca\right)+9\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge3\)
Hiển nhiên đúng do: \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=3\)
H
5 tháng 4 2021
Vì abc=1 , ta đặt \(a=\dfrac{x}{y};b=\dfrac{y}{z};c=\dfrac{z}{x}\)
Điều phải chứng minh tương đương với:
\(\dfrac{1}{2+\dfrac{x}{y}}+\dfrac{1}{2+\dfrac{y}{z}}+\dfrac{1}{2+\dfrac{z}{x}}\le1\\ \Leftrightarrow\dfrac{y}{2y+x}+\dfrac{z}{2z+y}+\dfrac{x}{2x+z}\le1\\ \Leftrightarrow\dfrac{2y}{2y+x}+\dfrac{2z}{2z+y}+\dfrac{2x}{2x+z}\le2\\ \Leftrightarrow\dfrac{x}{2y+x}+\dfrac{y}{2z+y}+\dfrac{z}{2x+z}\ge1\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki dạng phân thức ta có:
\(\dfrac{x}{2y+x}+\dfrac{y}{2z+x}+\dfrac{z}{2x+z}=\dfrac{x^2}{x^2+2xy}+\dfrac{y^2}{y^2+2zx}+\dfrac{z^2}{z^2+2xy}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
=> bài toán được chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 <=>a=b=c=1
TL
0
Theo gt, ta có: \(a+b+c=abc\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{ab}=1\)
Đặt \(\dfrac{1}{a}=x;\dfrac{1}{b}=y;\dfrac{1}{c}=z\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=2\\xy+yz+xz=1\end{matrix}\right.\)
Mặt khác, ta có: \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=2^2-2\times1=2\)
hay \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=2\)
Vậy ta có đpcm.