Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:\(\left|a\right|,\left|b\right|\) \(\leq\) \(1\)
\(\implies\) \(\left(1-a\right).\left(1-b\right)\) \(\geq\) \(0\)
\(\implies\) \(1-b-a+ab\)\(\geq\) \(0\)
\(\implies\) \(1+ab\) \(\geq\) \(a+b\)
\(\implies\) \(\left|1+ab\right|\) \(\geq\) \(\left|a+b\right|\) \(\left(đpcm\right)\)
a) Với mọi \(x,y\in Q\), ta luôn luôn có:
\(x\le\left|x\right|\) và \(-x\le\left|x\right|\) ; \(y\le\left|y\right|\) và \(-y\le\left|y\right|\)
Suy ra \(x+y\le\left|x\right|+\left|y\right|\) và \(-x-y\le\left|x\right|+\left|y\right|\)
hay \(x+y\ge-\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\)
Do đó \(-\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\le x+y\le\left|x\right|+\left|y\right|\)
Vậy \(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\)
b) Theo câu a ta có:
\(\left|x-y\right|+\left|y\right|\ge\left|x-y+y\right|=\left|x\right|\) ,suy ra \(\left|x-y\right|\ge\left|x\right|-\left|y\right|\)
\(=>\left|a-c\right|+\left|b-c\right|< 5\)
\(< =>\left|a-c\right|+\left|c-b\right|< \left|a-c+c-b\right|< 5< =>\left|a-b\right|< 5\)
a, Vì hai vế đều ko âm nên ta đuợc :
\(\left|x+y\right|^2\)<=\(\left(\left|x\right|^2+\left|y\right|^2\right)\)
<=> (x+y)(x+y) <= \(\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\)
<=> \(x^2+2xy+y^2\) <= \(x^2+2\left|x\right|\left|y\right|+y^2\)
<=> xy <= |xy| ( Luôn đúng với mọi x và y )
Vậy BĐT trên đúng. Dấu ' = ' xảy ra khi x, y cùng dấu
b, Áp dụng từ câu a , bạn suy ra nhé !
a) cả 2 vế không âm nên bình phương 2 vế ta được :
\(\left|x+y\right|^2\le\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+y\right)\le\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right).\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\le x^2+2.\left|x\right|\left|y\right|+y^2\)
\(\Leftrightarrow xy\le\left|xy\right|\) Điều này luôn đúng với mọi số x ; y .
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng . Dầu " ="khí | xý | = xy <=> x ; y cùng dấu .
b) Áp dụng câu a) ta có : | x - y| + |y| \(\ge\) | (x-y) + y | = |x|
=> |x - y | \(\ge\)|x| + | y|
Đầu " = " xảy ra <=> (x-y) và y cùng dấu
Ta có:\(\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=\frac{\left(a-c\right)-\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=\frac{a-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\frac{a-b}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a-c}=\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c-a}\left(1\right)\)Chứng minh tương tự,ta có:\(\hept{\begin{cases}\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}=\frac{1}{b-c}+\frac{1}{a-b}\left(2\right)\\\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\frac{1}{c-a}+\frac{1}{b-c}\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1);(2);(3) suy ra:\(\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(=\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{b-c}\)
\(=2\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)^{đpcm}\)
Ta có: VP = \(a\left(b^2-2bc+c^2\right)+b\left(c^2-2ac+a^2\right)+c\left(a^2-2ab+b^2\right)\)
= \(ab^2+ac^2+bc^2+ba^2+ca^2+cb^2-6abc\)(1)
\(VT=\left(ab+b^2+ac+bc\right)\left(c+a\right)-8abc\)
\(=abc+b^2c+ac^2+bc^2+a^2b+b^2a+a^2c+abc-8abc\)
= \(ab^2+ac^2+bc^2+ba^2+ca^2+cb^2-6abc\)(2)
Từ (1) ; (2) => VT = VP
Vậy đẳng thức luôn đúng.