NT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
5 tháng 8 2019
ta có
- ( /a/+/b/)^2=/a/^2+2/a/ /b/+/b/^2=a^2+2/ab/+b^2
- /a+b/^2=a^2+2ab+b^2
do 2/ab/>= 2ab (dấu = xảy ra khi ab>=0)
=>a^+b^2+2/ab/>2=a^2+b^2+2ab=> đpcm
5 tháng 8 2019
BĐT cần C/m
\(\Leftrightarrow\left(|a|+|b|\right)^2\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2|ab|+b^2\ge a^2+2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow|ab|\ge ab\)\(\RightarrowĐPCm\)
KH
1
22 tháng 12 2016
đúng với mọi a,b chứ nhỉ
nếu a, b <0 VT>=0 VP<0 => đúng
Bp
\(\Leftrightarrow2.\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-\left(a^2+2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) hiển nhiên đúng=> dpcm
KK
22 tháng 2 2017
\(VT=a+b+c=\alpha.\frac{a}{\alpha}+\beta.\frac{b}{\beta}+\gamma.\frac{c}{\gamma}\)
Áp dụng phương pháp nhóm ABEL
\(\Rightarrow VT=\left(\alpha-\beta\right)\frac{a}{\alpha}+\left(\beta-\gamma\right)\left(\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}\right)+\gamma\left(\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}+\frac{c}{\gamma}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\alpha\beta}}\left(1\right)\\\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}+\frac{c}{\gamma}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\alpha\beta\gamma}}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Ta có \(ab\ge\alpha\beta\Rightarrow\frac{ab}{\alpha\beta}\ge1\) \(\Rightarrow2\sqrt{\frac{ab}{\alpha\beta}}\ge2\left(2\right)\)
Ta có \(abc\ge\alpha\beta\gamma\Rightarrow\frac{abc}{\alpha\beta\gamma}\ge1\Rightarrow3\sqrt[3]{\frac{abc}{\alpha\beta\gamma}}\ge3\left(4\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 )
\(\Rightarrow\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}\ge2\)
\(\Rightarrow\left(\beta-\gamma\right)\left(\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}\right)\ge2\left(\beta-\gamma\right)\) ( 5 )
Từ ( 3 ) và ( 4 )
\(\Rightarrow\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}+\frac{c}{\gamma}\ge3\)
\(\Rightarrow\gamma\left(\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}+\frac{c}{\gamma}\right)\ge3\gamma\) ( 6 )
Theo đề bài ta có \(a\ge\alpha\Rightarrow\frac{a}{\alpha}\ge1\)\(\Rightarrow\left(\alpha-\beta\right)\frac{a}{\alpha}\ge\alpha-\beta\) ( 7 )
Từ ( 5 ) , ( 6 ) , ( 7 ) cộng theo từng vế
\(\Rightarrow VT=\left(\alpha-\beta\right)\frac{a}{\alpha}+\left(\beta-\gamma\right)\left(\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}\right)+\gamma\left(\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}+\frac{c}{\gamma}\right)\ge2\left(\beta-\gamma\right)+3\gamma+\alpha-\beta\)
\(\Rightarrow VT\ge2\beta-2\gamma+3\gamma+\alpha-\beta\)
\(\Rightarrow VT\ge\alpha+\beta+\gamma\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge\alpha+\beta+\gamma\) ( đpcm )
7 tháng 8 2017
Bài 3:
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM có:
\(x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge2\sqrt{x.\dfrac{1}{x}}+2\sqrt{y.\dfrac{1}{y}}+2\sqrt{z.\dfrac{1}{z}}\)
\(=2+2+2=6\)
Dấu " = " khi x = y = z = 1
Vậy...
T
7 tháng 8 2017
3. Với x,y,z>0 áp dụng BĐT Cauchy ta có
\(x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\)
\(=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)+\left(z+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(\ge2\sqrt{x.\dfrac{1}{x}}+2\sqrt{y.\dfrac{1}{y}}+2\sqrt{z.\dfrac{1}{z}}=2+2+2=6\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{x}\\y=\dfrac{1}{y}\\z=\dfrac{1}{z}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)
1. Với a=b=c=0, ta thấy BĐT trên đúng
Với a,b,c>0 áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương
\(a^3+a^3+b^3\ge3\sqrt[3]{a^3.a^3.b^3}=3\sqrt[3]{a^6b^3}=3a^2b\) (1)
\(b^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{b^3.b^3.c^3}=3\sqrt[3]{b^6c^3}=3b^2c\) (2)
\(c^3+c^3+a^3\ge3\sqrt[3]{c^3.c^3.a^3}=3\sqrt[3]{c^6a^3}=3c^2a\) (3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế:
\(a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a>\dfrac{a^2b+b^2c+c^2a}{3}\) (vì a,b,c>0)
Do đó BĐT trên đúng \(\forall a,b,c\ge0\)
PT
1
27 tháng 5 2018
\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (đúng)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b\)
TD
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 9 2018
Lời giải:
Biến đổi tương đương:
\(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{2}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{4}=\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{2}-\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+b-2\sqrt{ab}}{4}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{4}\geq 0\) (luôn đúng)
Do đó ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$
LT
1
17 tháng 10 2020
Ta có: \(\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}\)
\(=\frac{x-1-1}{\sqrt{x-1}+1}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x-1}-1\right)\left(\sqrt{x-1}+1\right)}{\sqrt{x-1}+1}\)
\(=\sqrt{x-1}-1\)
Ta có: \(\sqrt{x-1}\ge0\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}-1\ge-1\forall x\) thoả mãn ĐKXĐ
\(\Leftrightarrow\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}\ge-1\forall x\ge1\)(đpcm)
T
28 tháng 11 2019
Chỉ cần chú ý:
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}=2c\)
Từ đó thiết lập 2 BĐT còn lại tương tự rồi cộng theo vế thu được đpcm.
28 tháng 11 2019
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky :
\(\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)\left(abc+abc+abc\right)\ge\left(ab+bc+ac\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{3abc}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy
\(\hept{\begin{cases}a^2b^2+b^2c^2\ge2ab^2c\\a^2b^2+c^2a^2\ge2a^2bc\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\\b^2c^2+c^2a^2\ge2abc^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)^2\ge3\left(a+b+c\right)\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
Chúc bạn học tốt !!!
9 tháng 6 2017
a) Bình phương 2 vế được: \(\frac{4ab}{a+b+2\sqrt{ab}}\le\sqrt{ab}\)
<=> \(4ab\le\sqrt{ab}\left(a+b\right)+2ab\)
<=>\(\sqrt{ab}\left(a+b\right)\ge2ab\)
<=>\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
<=> \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\sqrt[4]{ab}\forall a,b>0\)
\(3a^3+7b^3\ge3a^3+6b^3\)
\(=3a^3+3b^3+3b^3\)
\(\ge3\sqrt[3]{3.a^3.3.b^3.3.b^3}=9ab^2\)
Dấu = xảy ra khi a = b = 0
\(3a^3+\frac{7}{2}b^3+\frac{7}{2}b^3\ge3\sqrt[3]{3a^3.\frac{7}{2}b^3.\frac{7}{2}b^3}=ab^2.3\sqrt[3]{\frac{147}{4}}>9ab^2\)