K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

5 tháng 5 2019

\(C=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1\ge\frac{3}{2}+1+1+1\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(b+c\right)+\left(c+a\right)+\left(a+b\right)\right]\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\left(^∗\right)\)

Áp dụng bđt Cauchy :

\(\hept{\begin{cases}\left(b+c\right)+\left(c+a\right)+\left(a+b\right)\ge3\sqrt[3]{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\\\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}\end{cases}}\)

Nhân vế của các bđt ta được :

\(VT\left(^∗\right)\ge3\sqrt[3]{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\cdot3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}=9\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

5 tháng 5 2019

đặt b + c = x ; c + a  = y ; a + b = z

\(\Rightarrow\)a + b + c = \(\frac{x+y+z}{2}\)

\(\Rightarrow a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{x+z-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}\)

\(\Rightarrow C=\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\)

\(C=\frac{1}{2}.\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-3\right)\ge\frac{1}{2}\left(6-3\right)=\frac{3}{2}\)

19 tháng 6 2020

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)

\(\ge\frac{1}{2}\frac{4}{a+b}+\frac{1}{2}\frac{4}{b+c}+\frac{1}{2}\frac{4}{c+a}\)

\(=\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c

29 tháng 1 2019

Sửa đề: a,b,c,d>0

C/m: \(\left(\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\right)^2\ge\left(a+c\right)\left(c+d\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left(\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\right)^2=\left[\frac{\left(a+c\right)+\left(b+d\right)}{2}\right]^2\ge\left[\frac{2.\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}}{2}\right]^2=\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)

Dấu " = " xảy ra <=> a+c=b+d

13 tháng 3 2019

Xét hiệu

\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}-\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)

\(=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\)

\(=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{9}-\frac{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}{9}\)

\(=\frac{1}{9}\left[3\left(a^2+b^2+c^2\right)-a^2-b^2-c^2-2ab-2bc-2ac\right]\)

\(=\frac{1}{9}\left(3a^2+3b^2+3c^2-a^2-b^2-c^2-2ab-2bc-2ac\right)\)

\(=\frac{1}{9}\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\right)\)

\(=\frac{1}{9}\left[\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\right]\)

\(=\frac{1}{9}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\) \(\ge0\)

Vậy \(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c

13 tháng 3 2019

\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\Leftrightarrow\frac{a^3+b^2+c^2}{3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ac\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

Các phép biến đổi là tương đương suy ra đpcm. \("="\Leftrightarrow a=b=c\)

19 tháng 6 2020

CM theo bdt co-si

Áp dụng bdt Co - si cho cặp số dương a2/c và c

Ta có: \(\frac{a^2}{c}+c\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c}.c}=2a\)(1)

CMTT: \(\frac{b^2}{a}+a\ge2b\)(2)

         \(\frac{c^2}{b}+b\ge2c\)(3)

Từ (1); (2) và (3) cộng vế theo vế, ta có:

\(\frac{a^2}{c}+c+\frac{b^2}{a}+a+\frac{c^2}{b}+b\ge2a+2b+2c\)

<=> \(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\ge2a+2b+2c-a-b-c=a+b+c\)(Đpcm)

19 tháng 6 2020

\(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c

29 tháng 11 2016

1)Áp dụng Bđt Am-Gm \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2\)

2)Áp dụng Am-Gm \(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab;b^2+c^2\ge2bc;a^2+c^2\ge2ca\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

=>ĐPcm

3)(a+b+c)2\(\ge\)3(ab+bc+ca)

=>a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca\(\ge\)3ab+3bc+3ca

=>a2+b2+c2-ab-bc-ca\(\ge\)0

=>2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca\(\ge\)0

=>(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)\(\ge\)0

=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2\(\ge\)0

4)đề đúng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

31 tháng 1 2017

\(\frac{a}{a+b}\)>=  \(\frac{a}{a+a}\)= \(\frac{1}{2}\)( vì a + a >= a + b vì a >= b ) 

\(\frac{b}{b+c}\) >= \(\frac{b}{b+b}\)= \(\frac{1}{2}\)( vì b + b >= b + c vì b >= c )

\(\frac{c}{c+a}\)>= \(\frac{c}{c+c}\)  = \(\frac{1}{2}\)( vì c + c >= c + a vì c>=0 )

Từ 3 điều này suy ra

\(\frac{a}{a+b}\)+ \(\frac{b}{b+c}\)+ \(\frac{c}{c+a}\)>=  \(\frac{3}{2}\)

31 tháng 1 2017

dễ dàng c/m (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) \(\ge\) 9,dấu "=" khi x=y=z (*)

a/a+b +b/b+c +c/c+a >= 3/2

<=>(a/b+c + 1) + (b/c+a + 1) + (c/a+b + 1) >= 3/2+1+1+1

<=>(a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(c+a) + (a+b+c)/(a+b) >= 9/2

<=>2(a+b+c)(1/b+c + 1/c+a + 1/a+b) >= 9/2

<=>[(b+c)+(c+a)+(a+b)](1/b+c + 1/c+a + 1/a+b) >= 9/2 (bđt (*))

6 tháng 2 2017

Đặt: a + b = x; b + c = y; c + a = z

Thì ta có: x \(\ge\)\(\ge\)y

Theo đề bài ta có:

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+b}-\frac{1}{2}+\frac{b}{b+c}-\frac{1}{2}+\frac{c}{c+a}-\frac{1}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{2\left(a+b\right)}+\frac{b-c}{2\left(b+c\right)}+\frac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{z-y}{2x}+\frac{x-z}{2y}+\frac{y-x}{2z}\ge0\)

\(\Leftrightarrow xy^2+yz^2+zx^2-x^2y-y^2z-z^2x\ge0\)


\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(z-y\right)\left(z-x\right)\ge0\)(1)

Mà ta lại có 

\(\hept{\begin{cases}y-x\le0\\z-x\le0\\z-y\ge0\end{cases}}\)nên (1) đúng

\(\Rightarrow\)ĐPCM

Đấu = xảy ra khi x = y = z hay a = b = c

5 tháng 2 2017

Đặt b+c=m

      a+c=n

      a+b=p

=>a+b+c =\(\frac{m+n+p}{2}\) 

a=\(\frac{n+p-m}{2}\) 

b=\(\frac{m+p-n}{2}\) 

c=\(\frac{m+n-p}{2}\) 

=>\(\frac{n+p-m}{2m}+\frac{m+n-p}{2n}+\frac{m+n-p}{2p}\) 

=\(\frac{1}{2}\left(\frac{n}{m}+\frac{m}{n}\right)\) +\(\frac{1}{2}\left(\frac{p}{m}+\frac{m}{p}\right)\) +\(\frac{1}{2}\left(\frac{p}{n}+\frac{n}{p}\right)\) -\(\frac{3}{2}\) \(\ge\) \(\frac{3}{2}\) 

Áp dụng BĐT Cosi cho  2 số \(\frac{n}{m};\frac{m}{n}\)  ta được:

 Từ chứng minh tiếp ....