MA
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
22 tháng 9 2020
\(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)
VT : (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab +2bc + 2ac + a2 + b2 + c2
= ( a2 + 2ab + b2 ) + (b2 + 2bc + c2) + ( a2 + 2ac + c2)
= (a + b)2 + (b + c)2 + (a + c)2 = VP
Vậy \(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)(đpcm)
TM
1
30 tháng 11 2018
\(a^2+b^2+c^2+d^2+4\ge2\left(a+b+c+d\right)\)
\(a^2+b^2+c^2+d^2+4-2\left(a+b+c+d\right)\ge0\)
\(a^2+b^2+c^2+d^2+4-2a-2b-2c-2d\ge0\)
\(\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)+\left(d^2-2d+1\right)\ge0\)
\(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2+\left(d-1\right)^2\ge0\)
Bất đẳng thức trên đúng với mọi a; b; c; d
=> bất đẳng thức được chứng minh
NT
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 7 2020
Hy vọng a;b;c dương
Khi đó: \(\frac{a^2}{b^2}+1\ge\frac{2a}{b}\) ; \(\frac{b^2}{c^2}+1\ge\frac{2b}{c}\) ; \(\frac{c^2}{a^2}+1\ge\frac{2c}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+3\ge2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}-3\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
21 tháng 4 2018
Áp dụng bất đẳng thức \(a^2+b^2\ge2ab\)
ta có\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\frac{ab}{bc}=2\frac{a}{c}\)
tương tự:\(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge2\frac{b}{a}\)
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}\)
Cộng 3 về bất đẳng thức trên lại với nhau ta đươc:\(2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\)
6 tháng 10 2019
Áp dụng BĐT Cô - si cho các số dương ta có :
+ ) \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b^2}.\frac{b^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\left(1\right)\)
Cmt ta có : \(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2b}{a}\left(2\right)\)
+ ) \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2c}{b}\left(3\right)\)
Cộng vế với vế của các BĐT \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) ta được :
\(2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\left(đpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt !!!
KK
27 tháng 3 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
G
30 tháng 3 2018
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2b^2}{b^2c^2}}=2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=2\left|\frac{a}{c}\right|\ge\frac{2a}{c}\)
Chứng minh tương tự: \(\hept{\begin{cases}\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2b}{a}\\\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2c}{b}\end{cases}}\)
Cộng theo vế: \(2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)
Dấu "=" khi \(a=b=c\)
11 tháng 3 2018
Áp dụng BĐT \(x^2+y^2\ge2xy\) ( với a,b,c>0) ta có:
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{a\left(b+c\right)}{4}=\frac{a^4}{a\left(b+c\right)}+\frac{a\left(b+c\right)}{4}\ge a^2\) (1)
CMTT ta được
\(\frac{b^3}{a+c}+\frac{b\left(a+c\right)}{4}\ge b^2\) (2)
\(\frac{c^3}{a+b}+\frac{c\left(a+b\right)}{4}\ge c^2\) (3)
Cộng lần lượt từng vế của 3 BĐT (1);(2);(3) ta được:
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}+\frac{a\left(b+c\right)}{4}+\frac{b\left(c+a\right)}{4}+\frac{c\left(a+b\right)}{4}\ge a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}+\frac{2\left(ab+bc+ac\right)}{4}\ge a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge a^2+b^2+c^2-\frac{ab+bc+ca}{2}\) (*)
Áp dụng BĐT \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)với 3 số a,b,c>0 ta được:
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\ge\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Thay vào pt (*) ta được:
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge a^2+b^2+c^2-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\left(đpcm\right)\)
k tớ nha !!!