K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

25 tháng 7 2019

Sửa đề: \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(\text{đúng}\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b

7 tháng 12 2021

Áp dụng BĐT cosi:

\(\left(2+a+b\right)\left(a+4b+ab\right)\ge3\sqrt[3]{2ab}\cdot3\sqrt[3]{4a^2b^2}=9\sqrt[3]{8a^3b^3}=9\cdot2ab=18ab\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b=2\\a=4b=ab\end{matrix}\right.\left(\text{vô lí}\right)\)

Vậy dấu \("="\) ko xảy ra hay \(\left(2+a+b\right)\left(a+4b+ab\right)>18ab\)

15 tháng 1 2021

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(a^{10}b^2+b^{10}a^2\ge a^8b^4+b^8a^4\)

\(\Leftrightarrow a^8+b^8\ge a^6b^2+b^6a^2\) (Do \(a^2b^2\ge0\))

\(\Leftrightarrow\left(a^6-b^6\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\ge0\) (luôn đúng).

Vậy ta có đpcm.

 

15 tháng 1 2021

bạn trình bày rõ ra vì sao lại có suy ra thứ 2 vậy. Giải thik cho mk đc ko Sigma CTV

7 tháng 12 2021

Áp dụng BĐT cosi:

\(\left(a+b+b+c+c+a\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\\ \ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\cdot3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=9\\ \Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge9\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{9}{2}\left(đpcm\right)\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)

 

AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 1 2022

Lời giải:

Bổ sung điều kiện $a,b$ là các số dương. Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

$a+b\geq 2\sqrt{ab}$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}}$

$\Rightarrow (a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{\frac{1}{ab}}=4$

Ta có đpcm 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b$

30 tháng 11 2017

Đề phải cho a,b,c lớn hơn 0 mới đúng

BĐT cần chứng minh tương đương

\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{a^2+c^2}{a+c}\right)\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\Sigma\dfrac{c\left(a^2+b^2\right)+\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)+\Sigma\dfrac{c\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\Sigma\dfrac{c\left(\left(a+b\right)^2-2ab\right)}{a+b}\le a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(ac+bc+ac\right)\le a^2+b^2+c^2+2abc\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\)

áp dụng Bđt \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\)\

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2abc\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge a^2+b^2+c^2+\dfrac{9abc}{a+b+c}\)

Ta cần cm

\(a^2+b^2+c^2+\dfrac{9abc}{a+b+c}\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)

BĐT trên tương đương

\(a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2\left(b+c\right)+b^2\left(a+c\right)+c^2\left(a+b\right)\)

BĐT trên là hệ quả của BĐT Schur nên ta có đpcm

1 tháng 12 2017

Hồi thấy Akai xử bài này rồi :v Nhớ được mỗi cái Schur :))