Question

[Tý Nguyen]

chứng minh bằng phường pháp phản chứng. chứng minh rằng nếu x^2 =2 thi phường trinh khong có nghiệm trong Q

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Chứng minh bằng phản chứng :

Giả sử ngược lại, phương trình \(x^2=2\) có nghiệm \(x\in Q\) , tức là \(x=\frac{p}{q}\) (p,q \(\in Z,q\ne0\)) , \(\frac{p}{q}\) tối giản

Giải \(x^2=2\) được : \(x=\pm\sqrt{2}\)

Do đó: \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) (Ta chỉ xét trường hợp \(x=\sqrt{2}\) , trường hợp \(x=-\sqrt{2}\) cũng tương tự)

Ta cần chứng minh \(\sqrt{2}\) không là số hữu tỉ.

Ta có : \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\Leftrightarrow p^2=2q^2\left(1\right)\Rightarrow p^2⋮2\Rightarrow p⋮2\) ( vì 2 là số nguyên tố)

Đặt \(p=2k\left(k\in Z\right)\Rightarrow p^2=4k^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow4k^2=2q^2\) nên \(q^2=2k^2\) (3)

Từ (3) lại có \(q^2⋮2\Rightarrow q⋮2\)

p và q cùng chia hết cho 2 nên phân số \(\frac{p}{q}\) không tối giản, trái với giả thiết.

Vậy \(\sqrt{2}\) không là số hữu tỉ, tức là \(x\notin Q\)