![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(a^2+b^2+4\ge ab+2\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+8\ge2ab+4\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+8-2ab-4a-4b\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+a^2-4a+4+b^2-4b+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2\ge0\) (Luôn đúng)
Vậy đẳng thức ban đầu được chứng minh.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1. (a+b)^2 ≥ 4ab
<=> a2+2ab+b2≥ 4ab
<=> a2+2ab+b2-4ab≥ 0
<=> a2-2ab+b2≥ 0
<=> (a-b)^2 ≥ 0 ( luôn đúng )
2. a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0
<=> (a^2- 2ab+b^2) + (b^2-2bc+c^2) + (c^2-2ca+a^2) ≥ 0
<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 ≥ 0 ( luôn đúng)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài 1 :
Theo BĐT cô - si ta có :
\(x^2+y^2\ge2xy\)
\(x^2+1\ge2x\)
\(y^2+z^2\ge2yz\)
\(y^2+1\ge2y\)
\(z^2+x^2\ge2zx\)
\(z^2+1\ge2z\)
Cộng vế theo vế ta được :
\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge12\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\left(đpcm\right)\)
Bài 2 :
Ta có :
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge ab^3+a^3b+2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+a^4+b^4-ab^3-a^3b-2a^2b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3b-ab^3+b^4\right)+\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)+\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
2)\(2\left(a^4+b^4\right)\ge ab^3+a^3b+2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+a^4+b^4-ab^3-a^3b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+a^3\left(a-b\right)+b^3\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(a-b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(luôn đúng)
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\le\frac{a^2+b^2}{2}\Leftrightarrow4a^2+4b^2\ge2\left(a^2+2ab+b^2\right)=2a^2+4ab+2b^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2-4ab+2b^2\ge0\Leftrightarrow2\left(a-b\right)^2\ge0\) (đúng)
Vậy ta có đpcm.