![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\left(a+b\right)^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b\)
\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Vì \(a\ge0\),\(b\ge0\),\(c\ge0\),áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương a,b,c ta có
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(c+a\ge2\sqrt{ac}\)
Nhân từng vế bđt trên =>đpcm
\(\text{có:}\frac{k}{n}+\frac{n}{k}\ge2\Leftrightarrow\frac{k}{n}-2+\frac{n}{k}\ge0\Leftrightarrow\frac{k}{n}-2\sqrt{\frac{k}{n}}.\sqrt{\frac{n}{k}}+\frac{n}{k}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{\frac{k}{n}}-\sqrt{\frac{n}{k}}\right)^2\ge0\forall k,n>0\)
\(\left(a+b\right).\left(b+c\right).\left(c+a\right)\ge8abc\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+ac+b^2+bc\right).\left(a+c\right)\ge8abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+ab^2+abc+abc+ac^2+b^2c+bc^2\ge8abc\)
\(\Leftrightarrow2+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\ge8\)
\(\Leftrightarrow2+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)\ge8\)(luôn đúng với mọi a,b,c >=0)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
BĐT tương đương với \((a^2+ab+ac)(a^2+ac+ab+bc)+b^2c^2\geq 0\)
Đặt \(a^2+ab+ac=t\)
BĐT cần chứng minh \(\Leftrightarrow t(t+bc)+b^2c^2=(t-\frac{bc}{2})^2+\frac{3b^2c^2}{4}\geq 0\)
Luôn đúng vì bình phương của một số thực luôn là số không âm
Dấu bằng xảy ra khi \(2(a^2+ab+ac)=bc\) và \(bc=0\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
câu a dễ mà mình học lớp 6 thôi
do a>0 , b> 0 nên a , b là số nguyên dương
=> để a.b=1
thì a=1
b=1
=>(1+1).(1+1)
= 2.2
=4
4 =4
=> (a+1).(b+1) \(\ge\)
bài 2 : đó là bất đẳng thức cô shi đó bạn dấu ''='' xảy ra khi a=b
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
(a2+ab+ac)(a2+ab+ac+bc)+b2c2
đặt a2+ab+ac=x; bc=y
=>x(x+y)+y2=x2+xy+y2>=0(đúng)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
BĐT tương đương : \(\frac{a\left(a+c+b-3b\right)}{1+ab}+\frac{b\left(b+a+c-3c\right)}{a+bc}+\frac{c\left(c+b+a-3a\right)}{1+ca}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{3a\left(1-b\right)}{1+ab}+\frac{3b\left(1-c\right)}{1+bc}+\frac{3c\left(1-a\right)}{1+ca}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(1-b\right)}{1+ab}+\frac{b\left(1-c\right)}{1+bc}+\frac{c\left(1-a\right)}{1+ca}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(1-b\right)}{1+ab}+1+\frac{b\left(1-c\right)}{1+bc}+1+\frac{c\left(1-a\right)}{1+ca}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+1}{1+ab}+\frac{b+1}{1+bc}+\frac{c+1}{1+ca}\ge3\)
Áp dụng BĐT Cosi ta có: \(\frac{a+1}{1+ab}+\frac{b+1}{1+bc}+\frac{c+1}{1+ca}\ge3\sqrt[3]{\frac{a+1}{1+ab}\cdot\frac{b+1}{1+bc}\cdot\frac{c+1}{1+ca}}\)
Ta phải chứng minh: \(\sqrt[3]{\frac{a+1}{1+ab}\cdot\frac{b+1}{1+bc}\cdot\frac{c+1}{1+ca}}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge\left(1+ab\right)\left(1+bc\right)\left(1+ca\right)\)
Thật vậy \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge\left(1+ab\right)\left(1+bc\right)\left(1+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow abc+ab+bc+ca+a+b+c+1\ge a^2b^2c^2+abc\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca+1\)
\(\Leftrightarrow3\ge a^2b^2c^2+2abc\) (*)
Từ a+b+c=3 => \(3\ge3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow abc\le1\)
=> (*) đúng
Vậy \(\frac{a\left(a+c-2b\right)}{1+ab}+\frac{b\left(b+a-2c\right)}{1+bc}+\frac{c\left(c+b-2a\right)}{1+ca}\ge0\)
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1