Question

[Trịnh Xuân Minh]

Chứng minh 21³⁹+39²¹ chia hết cho 180

Answer 1

[Le Quang Truong]

2155555555555555555555555

Answer 2

[Phước Nguyễn]

Ta có:

\(21^{39}+39^{21}=\left(21^{39}-1\right)+\left(39^{21}+1\right)\)

Vì  \(21^{39}-1=20\left(21^{38}+21^{37}+...+1\right)\)  chia hết cho \(20\) và  \(39^{21}+1=40\left(39^{20}-39^{19}+...+1\right)\)  chia hết cho  \(20\)

Do đó,  \(\left(21^{39}-1\right)+\left(39^{21}+1\right)\)  chia hết cho  \(20\)  hay \(21^{39}+39^{21}\) chia hết cho  \(20\)    \(\left(\text{*}\right)\)

Mặt khác, ta cũng có \(21^{39}+39^{21}=\left(21^{39}-3^{39}\right)+\left(39^{21}-3^{21}\right)+\left(3^{39}+3^{21}\right)\)

Do   \(21^{39}-3^{39}=18\left(21^{38}+...+3^{38}\right)\)  chia hết cho  \(9\)  \(\left(1\right)\)

       \(39^{21}-3^{21}=36\left(39^{20}+...+3^{20}\right)\)  chia hết cho  \(9\)  \(\left(2\right)\)

 và   \(3^{39}+3^{21}=3^{21}\left(3^{18}+1\right)=3\left(3^2\right)^{10}\left(3^{18}+1\right)\)  chia hết cho  \(9\)  \(\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right)\)  và \(\left(3\right)\) , suy ra  \(21^{39}+39^{21}\)  chia hết cho \(9\)   \(\left(\text{*}\text{*}\right)\)

Lại có:  \(\left(20;9\right)=1\)  \(\left(\text{*}\text{*}\text{*}\right)\)

Từ \(\left(\text{*}\right);\)  \(\left(\text{*}\text{*}\right)\)  và  \(\left(\text{*}\text{*}\text{*}\right)\)  suy ra \(21^{39}+39^{21}\)  chia hết cho  \(20.9=180\)