![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ta có a2014 và a2016 có cùng số dư khi chia cho 2 và 3 nên a2014 và a2016 có cùng số dư khi chia cho 6.
ta có b2015 và b2017 có cùng số dư khi chia cho 2 và 3 nên b2015 và b2017 có cùng số dư khi chia cho 6.
ta có c2016 và c2018 có cùng số dư khi chia cho 2 và 3 nên c2016 và c2018 có cùng số dư khi chia cho 6.
do đó a2014 + b2015 + c2016 và a2016 + b2017 + c2018 có cùng số dư khi chia cho 6 hay a2014 + b2015 + c2016 chia hết cho 6 thì a2016 + b2017 + c2018 cũng chia hết cho 6.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có (a1 + a2 + ...+a2016)3 = 20166051
<=> a13 + a23 +...+ a20163 + 3A = 20166051
Vì 20166051 và 3A chia hết cho 3 nên a13 + a23 +...+ a20163 chia hết cho 3
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(K\left(x\right)=P\left(x\right)-\left(x+1\right)\)
\(\Rightarrow K\left(2016\right)=K\left(2017\right)=K\left(2018\right)=K\left(2019\right)=0\)
Vì P(x) có hệ số của bậc cao nhất bằng 1 nên K(x) cũng có hệ số của bậc cao nhất bằng 1
Do đó K(x) có dạng \(\left(x-2016\right)\left(x-2017\right)\left(x-2018\right)\left(x-2019\right)\)
Lúc đó \(P\left(x\right)=\left(x-2016\right)\left(x-2017\right)\left(x-2018\right)\left(x-2019\right)\)
\(+\left(x+1\right)\Rightarrow P\left(2020\right)=2045⋮5\)
Vậy P(2020) là một số tự nhiên chia hết cho 5 (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(B=a_1+a_2+...+a_{2016}\)
\(\Rightarrow A-B=\left(a_1^3+a_2^3+...+a_{2016}^3\right)-\left(a_1+a_2+....+a_{2016}\right)\)
\(=\left(a_1^3-a_1\right)+\left(a_2^3-a_2\right)+...+\left(a_{2016}^3-a_{2016}\right)\)
\(=\left(a_1-1\right)a_1\left(a_1+1\right)+\left(a_2-1\right)a_2\left(a_2+1\right)+...+\left(a_{2016}-1\right)a_{2016}\left(a_{2016}+1\right)⋮6\)
Mà \(B⋮6\Rightarrow A⋮6\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: \(a^5-a=a\left(a^2+1\right)\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮5\)( 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5)
=> \(a^5-a=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)⋮6\)
( 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2 và chia hết cho 3 nên chia hết cho 6)
mà 6 .5 = 30 ; ( 6;5) = 1
=> \(a^5-a⋮30\)
=> \(a^{2020}-a^{2016}=a^{2015}\left(a^5-a\right)⋮30\)
=> \(A=\left(a^{2020}-a^{2016}\right)+\left(b^{2020}-b^{2016}\right)+\left(c^{2020}-c^{2016}\right)⋮30\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta sẽ xét tính biến thiên của hàm số :
Ta có \(f\left(x\right)=\left(x^3-3x^2+3x-1\right)+4=\left(x-1\right)^3+4\)
\(f\left(\frac{2017}{2016}\right)-f\left(\frac{2016}{2015}\right)=\left(\frac{2017}{2016}-1\right)^3-\left(\frac{2016}{2015}-1\right)^3\)
\(=\left(\frac{1}{2016}-\frac{1}{2015}\right)\left[\left(\frac{2017}{2016}-1\right)^2+\left(\frac{2016}{2015}-1\right)^2+\left(\frac{2017}{2016}-1\right)\left(\frac{2016}{2015}-1\right)\right]\)
\(=\left(\frac{1}{2016}-\frac{1}{2015}\right)\left(\frac{1}{2016^2}+\frac{1}{2015^2}+\frac{1}{2016}.\frac{1}{2015}\right)< 0\)
\(\Rightarrow f\left(\frac{2017}{2016}\right)-f\left(\frac{2016}{2015}\right)< 0\Rightarrow f\left(\frac{2017}{2016}\right)< f\left(\frac{2016}{2015}\right)\)
Ta sẽ xét tính biến thiên của hàm số :
Ta có f\left(x\right)=\left(x^3-3x^2+3x-1\right)+4=\left(x-1\right)^3+4f(x)=(x3−3x2+3x−1)+4=(x−1)3+4
f\left(\frac{2017}{2016}\right)-f\left(\frac{2016}{2015}\right)=\left(\frac{2017}{2016}-1\right)^3-\left(\frac{2016}{2015}-1\right)^3f(20162017)−f(20152016)=(20162017−1)3−(20152016−1)3
=\left(\frac{1}{2016}-\frac{1}{2015}\right)\left[\left(\frac{2017}{2016}-1\right)^2+\left(\frac{2016}{2015}-1\right)^2+\left(\frac{2017}{2016}-1\right)\left(\frac{2016}{2015}-1\right)\right]=(20161−20151)[(20162017−1)2+(20152016−1)2+(20162017−1)(20152016−1)]
=\left(\frac{1}{2016}-\frac{1}{2015}\right)\left(\frac{1}{2016^2}+\frac{1}{2015^2}+\frac{1}{2016}.\frac{1}{2015}\right)< 0=(20161−20151)(201621+201521+20161.20151)<0
\Rightarrow f\left(\frac{2017}{2016}\right)-f\left(\frac{2016}{2015}\right)< 0\Rightarrow f\left(\frac{2017}{2016}\right)< f\left(\frac{2016}{2015}\right)⇒f(20162017)−f(20152016)<0⇒f(20162017)<f(20152016)
\(2016^3-2016=2016.\left(2016^2-1\right)\)
\(=2016.\left(2016-1\right).\left(2016+1\right)\)
\(=2017.2016.2015⋮2017\) ( đpcm )
20163-2016=2016(20162-1)=2016.(2016-1)(2016+1)=2015.2016.2017 chia hết cho 2017