![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
`A=\sqrt{1+2008^2+2008^2/2009^2}+2008/2009`
`=\sqrt{1+2008^2+2.2008+2008^2/2009^2-2.2008}+2008/2009`
`=\sqrt{(2008+1)^2-2.2008+2008^2/2009^2}+2008/2009`
`=\sqrt{2009-2.2008/2009*2009+2008^2/2009^2}+2008/2009`
`=\sqrt{(2009-2008/2009)^2}+2008/2009`
`=|2009-2008/2009|+2008/2009`
`=2009-2008/2009+2008/2009`
`=2009` là 1 số tự nhiên
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(22...2=\frac{2}{9}\left(99...9\right)=\frac{2}{9}\left(10^{2020}-1\right)\)
\(11...1=\frac{1}{9}\left(99...9\right)=\frac{1}{9}\left(10^{2019}-1\right)\)
Do đó:
\(A=\frac{1}{9}\left(10^{2019}-1\right).10^{2021}+\frac{2}{9}\left(10^{2020}-1\right).10+5\)
\(=\frac{1}{9}\left(10^{4040}-10^{2021}+2.10^{2021}-20+45\right)\)
\(=\frac{1}{9}\left(10^{4040}+10^{2021}+25\right)=\frac{1}{9}\left(2^{2020}+5\right)^2=\left(\frac{2^{2020}+5}{3}\right)^2\)
Mà \(2^{2020}=4^{1010}\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow2^{2020}+5⋮3\)
\(\Rightarrow\frac{2^{2020}+5}{3}\in Z\Rightarrow A\) là số chính phương
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài 1:
Ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(a+c\ge2\sqrt{ac}\)
Do đó: \(2\left(a+b+c\right)\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\)
hay \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{cb}+\sqrt{ac}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ta có
\(A=111..1000..0+222..2+3=10^{2007}\left(1+10+..+10^{2004}\right)+2.\left(1+10+..+10^{2006}\right)+3\)
\(=10^{2007}.\frac{10^{2005}-1}{9}+2.\frac{10^{2007}-1}{9}+3=\frac{10^{2.2006}-10.10^{2006}+25}{9}=\left(\frac{10^{2006}-5}{3}\right)^2\)
rõ ràng Alà số tự nhiên nên \(\left(\frac{10^{2006}-5}{3}\right)\) là số tự nhiên, vậy ta có đpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(2008=a\)
\(\Leftrightarrow A=\sqrt{1+a^2+\dfrac{a^2}{\left(a+1\right)^2}}+\dfrac{a}{a+1}\\ A=\sqrt{\left(a+1\right)^2-\dfrac{2a\left(a+1\right)}{a+1}+\dfrac{a^2}{\left(a+1\right)^2}}+\dfrac{a}{a+1}\\ A=\sqrt{\left(a+1-\dfrac{a}{a+1}\right)^2}+\dfrac{a}{a+1}\\ A=a+1-\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{a}{a+1}=a+1=2009\left(đpcm\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(B=\sqrt{1+2008^2+\dfrac{2008^2}{2009^2}}+\dfrac{2008}{2009}=\sqrt{\dfrac{2009^2+2008^2.2009^2+2008^2}{2009^2}}+\dfrac{2008}{2009}=\dfrac{\sqrt{2009^2+\left(2009-1\right)^2.2009^2+2008^2}}{2009}+\dfrac{2008}{2009}=\dfrac{\sqrt{2009^2+2009^4-2.2009.2009^2+2009^2+2008^2}+2008}{2009}=\dfrac{\sqrt{2009^4+2.2009^2-2.\left(2008+1\right).2009^2+2008^2}+2008}{2009}=\dfrac{\sqrt{2009^4+2.2009^2-2.2008.2009^2-2.2009^2+2008^2}+2008}{2009}=\dfrac{\sqrt{2009^4-2.2008.2009^2+2008^2}+2008}{2009}=\dfrac{\sqrt{\left(2009^2-2008\right)^2}+2008}{2009}=\dfrac{2009^2-2008+2008}{2009}=2009\in N\)
Vậy B có giá trị là một số tự nhiên
Xét các số thực a, b, c thỏa mãn \(a+b+c=0\)
\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}-\frac{2}{ab}-\frac{2}{bc}-\frac{2}{ca}}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-2.\frac{a+b+c}{abc}}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|\)
Ta có:
\(B=\sqrt{1+2008^2+\frac{2008^2}{2009^2}}+\frac{2008}{2009}\)
\(=\sqrt{2008^2}.\sqrt{\frac{1}{2018^2}+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2009^2}}+\frac{2008}{2009}\)
\(=2008.\sqrt{\frac{1}{2018^2}+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{\left(-2009\right)^2}}+\frac{2008}{2009}\)
\(=2008.\left|\frac{1}{2008}+1-\frac{1}{2009}\right|+\frac{2008}{2009}\)
\(=2008.\left(\frac{1}{2008}+1-\frac{1}{2009}\right)+\frac{2008}{2009}\)
\(=2008.\left(\frac{1}{2008}+1-\frac{1}{2009}+\frac{1}{2009}\right)\)
\(=2008.\frac{2009}{2008}=2009\in\text{N}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(A=\sqrt{1+2008^2+\dfrac{2008^2}{2009^2}}+\dfrac{2008}{2009}=\sqrt{2008^2+2.2008+1-2.2008+\dfrac{2008^2}{2009^2}}+\dfrac{2008}{2009}=\sqrt{2009^2-2.2009.\dfrac{2008}{2009}+\dfrac{2008^2}{2009^2}}+\dfrac{2008}{2009}=\sqrt{\left(2009-\dfrac{2008}{2009}\right)^2}+\dfrac{2008}{2009}=2009\)
Vậy , A có giá trị là số nguyên .
Mọi số An = 11...122...225 ( có n số 1 và n+1 số 2) đều là số chính phương với mọi n.
Thật vây, 11..122..200 (n số 1; n số 2) = 11...10 X 10...020 (số 11..10 có n số 1 và số 10..020 có (n-1) số 0 giữa số 1 và 2)
= 11..10 X 3 X 33...340 ( số 33..340 có (n-1) số 3)
= 33...30 X (33..30+10) ( số 33..30 có n số 3)
= 33..30 X (33..30 +2 x5)
= 33..30^2+2x33..30x5.
Vậy số An = 33..30^2+2x33..30x5 +5^2 = (33...35)^2 n số 3 - Là 1 số chính phương với mọi n thuộc N.
Cũng đúng với n=2008 - ĐPCM.