VA
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
T
25 tháng 6 2019
#)Tham khảo trong hai link này nhé :
Chứng minh: $\frac{1}{{4 - ab}} + \frac{1}{{4 - bc}} + \frac{1}{{4 - ca}} \le ...https://diendantoanhoc.net › ... › Toán Trung học Cơ sở › Bất đẳng thức và cực trị
Chứng minh rằng: $\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\leq 1 ...https://diendantoanhoc.net › ... › Toán Trung học Cơ sở › Bất đẳng thức và cực trị
P/s : Vô thống kê hỏi đáp ms dùng đc link nhé !
27 tháng 6 2019
Ta có: \(a^4+b^4+c^4=3\Rightarrow0\le a^4;b^4;c^4\le3\Rightarrow0\le a;b;c\le\sqrt[4]{3}\)
=> \(ab,bc,ac\le\sqrt[4]{9}\)
Xét: \(\frac{18}{4-x}\le x^2+5,\forall0\le x\le\sqrt[4]{9}\)
<=> \(18\le\left(x^2+5\right)\left(4-x\right)\)
<=> \(\left(x-1\right)^2\left(2-x\right)\ge0\)luôn đúng với \(\forall0\le x\le\sqrt[4]{9}\)
Như vậy:
\(\frac{18}{4-ab}+\frac{18}{4-bc}+\frac{18}{4-ac}\le\left(ab\right)^2+5+\left(bc\right)^2+5+\left(ac\right)^2+5\)
\(=\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ac\right)^2+15\le\frac{a^4+b^4}{2}+\frac{b^4+c^4}{2}+\frac{a^4+c^4}{2}+15\)
\(=a^4+b^4+c^4+15=18\)
=> \(\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac}\le1\)
"=" xảy ra <=> a=b=c=1
23 tháng 12 2018
lp 8 mà khó thế -,-
Có \(4=a^4+b^4+c^4+1\ge4\sqrt[4]{\left(abc\right)^4}=4abc\)\(\Leftrightarrow\)\(-abc\ge-1\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}=\frac{a+b+c}{4-abc}\le\frac{a+b+c}{4-1}=\frac{a+b+c}{3}\)
Lại có \(3=a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\ge\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^4}{9}}{3}=\frac{\left(a+b+c\right)^4}{27}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)^4\le81\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\le3\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\le\frac{a+b+c}{3}\le\frac{3}{3}=1\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
TN
25 tháng 3 2017
Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab\forall a,b\Rightarrow\frac{1}{4-ab}\le\frac{2}{8-a^2-b^2}\)
Theo BĐT C-S: \(\frac{2}{8-a^2-b^2}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4-a^2}+\frac{1}{4-b^2}\right)\)
Do đó: \(\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\le\frac{1}{4-a^2}+\frac{1}{4-b^2}+\frac{1}{4-c^2}\)
Ta có đánh giá sau: \(\frac{1}{4-a^2}\le\frac{a^4+5}{18}\Leftrightarrow\left(a^2-1\right)^2\left(a^2-2\right)\le0\) (Đúng)
Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng theo vế ta có:
\(\frac{1}{4-a^2}+\frac{1}{4-b^2}+\frac{1}{4-c^2}\le\frac{a^4+5}{18}+\frac{b^4+5}{18}+\frac{c^4+5}{18}=1\)(ĐPCM)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
25 tháng 3 2017
Cách khác dùng Schur như sau :)
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(16+3abc\left(a+b+c\right)\ge a^2b^2c^2+8\left(ab+bc+ca\right)\)
Mà \(1\ge a^2b^2c^2\). Mặt khác theo BĐT Schur ta có:
\(\left(a^3+b^3+c^3+3abc\right)\left(a+b+c\right)\ge\)
\(\ge\left[ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\right]\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow3+3abc\left(a+b+c\right)\ge2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+2abc\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(ad+bc\right)^2+\left(bc+ca\right)^2+\left(ca+ab\right)^2\)
BĐT sẽ được c/m xong nếu ta chỉ ra:
\(\left(ab+bc\right)^2+\left(bc+ca\right)^2+\left(ca+ab\right)^2+12\ge8\left(ab+bc+ac\right)\)
Đúng theo BĐT Cô-si
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
1 tháng 3 2018
Áp dụng tính chất : 1/x+y < = 1/4.(1/x + 1/y) với x,y > 0 thì :
ab/c+1 = ab/c+a+b+c = ab/(c+a)+(c+b) < = ab/4.(1/c+a + 1/c+b) = 1/4.(ab/c+a + ab/c+b)
Tương tự : bc/a+1 < = 1/4.(bc/a+c + bc/a+b) ; ca/b+a < = 1/4.(ca/b+c + ca/b+a)
=> ab/c+1 + bc/a+1 + ca/b+1 < = 1/4.(ab/c+a + ab/c+b + bc/a+c + bc/a+b + ca/b+c + ca/b+a )
= 1/4.[(ab/c+a + bc/a+c) + (ab/c+b + ca/b+c) + (bc/a+b + ca/a+b)]
= 1/4.(a+b+c) = 1/4
=> ĐPCM
Tk mk nha
17 tháng 1 2016
cái này dễ lắm. thế này nhé. \(a^4\ge0\), b và c cũng thế. suy ra để \(a^4+b^4+c^4=3\)thì a,b,c phải bằng 1 (vì a,b,c nguyên dương hay lớn hơn 0). thế là thay vào rồi suy ra biểu thức kia nhỏ hơn hoặc bằng 1 thôi
mình giải đúng 100%. tích đúng cho mình nhé
30 tháng 4 2020
Ta có \(a+b+b+b\ge4\sqrt[4]{abbb}\)(theo BĐT Cosi)
\(\Leftrightarrow a+3b\ge\sqrt[4]{ab^3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+3b}{4}\ge4\sqrt[4]{ab^3}\)
Mà \(a,b,c\ge1\Rightarrow a+3b\ge4\Rightarrow\frac{a+3b}{4}\ge1\)
\(\Leftrightarrow1+\sqrt[4]{ab^3}\ge1+a\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+\sqrt[4]{ab^3}}\le\frac{1}{1+a}\left(1\right)\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+\sqrt[4]{bc^3}}=\frac{1}{1+b}\left(2\right)\\\frac{1}{1+\sqrt[4]{ca^3}}=\frac{1}{1+c}\left(3\right)\end{cases}}\)
(1) (2) (3) => \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge\frac{1}{1+\sqrt[4]{ab^3+1}}+\frac{1}{1+\sqrt[4]{bc^3}}+\frac{1}{1+\sqrt[4]{ca^3}}\)(đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 10 2020
1.
Ta có: \(a^4+b^4\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge ab\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{a}{a+bc\left(b^2+c^2\right)}+\frac{b}{b+ca\left(c^2+a^2\right)}+\frac{c}{c+ab\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{a^2}{a^2+abc\left(b^2+c^2\right)}+\frac{b^2}{b^2+abc\left(a^2+c^2\right)}+\frac{c^2}{c^2+abc\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Bạn tham khảo các câu trả lời của mọi người tại đây:
Câu hỏi của zZz Cool Kid zZz - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Và đây củng chính là Moldova TST 2005
Một cách giải khác mình lấy được trên mạng