Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
vì x+y+z=1nên
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\)\(\frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}\)\(=3+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\)=\(3+\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{y^2+z^2}{yz}+\frac{x^2+z^2}{xz}\)
nen \(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) =\(\left(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{4xy}\right)+\left(\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{y^2+z^2}{4yz}\right)+\left(\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{x^2+z^2}{xz}\right)+\frac{3}{4}\)
\(\ge2.\frac{1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\)(dpcm)
dau = xay ra khi x=y=z=1/3
\(\hept{\begin{cases}y=\frac{x^2+\frac{1}{x^2}}{x^2-\frac{1}{x^2}}=\frac{x^4+1}{x^4-1}=a\\z=\frac{x^4+\frac{1}{x^4}}{x^4-\frac{1}{x^4}}=\frac{x^8+1}{x^8-1}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x^4=\frac{y+1}{y-1}\)
Thế vô z được
\(z=\frac{\left(\frac{y+1}{y-1}\right)^2+1}{\left(\frac{y+1}{y-1}\right)-1}=\frac{y^2+1}{2y}\)
Giờ thì thế \(y=\sqrt{2}+\sqrt{3}\)vô đi
\(\frac{4}{x^2+7}=\frac{4}{x^2+1+y^2+1+z^2+1+x^2+1}\le\frac{4}{4x+2y+2z}=\frac{2}{2x+y+z}\)
đến đây tự làm nha
Cho a, b, c mà bắt chứng minh x, y, z nên ko chứng minh đc là đúng òi:)
\(VT-VP=\Sigma_{cyc}\frac{\left(x-y\right)^4}{4xy\left(x^2+y^2\right)}\ge0\)
1) đặt \(\sqrt{x-1}=a\left(a\ge0\right);\sqrt{y-4}=b\left(b\ge0;\right)\)
M = \(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+4}\); a2 +1 \(\ge2a;b^2+4\ge4b\)=> M \(\le\frac{a}{2a}+\frac{b}{4b}=\frac{3}{4}\)
M đạt GTLN khi a=1, b=2 hay x=2; y= 8
2) <=> (x-y)2 + (x+2)2 =8 => (x+2)2\(\le8< =>\left|x+2\right|\le\sqrt{8}\approx2< =>-2\le x+2\le2< =>\)\(-4\le x\le0\)
x=-4 => (y+4)2 =4 <=> y = -2;y = -6
x=-3 => (y+3)2 = 7 (vô nghiệm); x=-1 => (y+1)2 =7 (vô nghiệm)
x=0 => y2 = 4 => y =2; =-2
vậy có các nghiệm (x;y) = (-4;-2); (-4;-6); (0;-2); (0;2)
3) \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}\ge2\frac{x}{z}\left(a^2+b^2\ge2ab\right)\); tương tự với các số còn lại ta được điều phải chứng minh
3) sửa lại
áp dụng a2+b2+c2 \(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^2}{3}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)(vì \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz}{yzx}}=3\))
dấu '=' khi x=y=z
Ta có : \(y=\frac{x^2+\frac{1}{x^2}}{x^2-\frac{1}{x^2}}=\frac{x^4+1}{x^4-1}\); \(z=\frac{x^4+\frac{1}{x^4}}{x^4-\frac{1}{x^4}}=\frac{x^8+1}{x^8-1}\)
\(y+\frac{1}{y}=\frac{x^4+1}{x^4-1}+\frac{x^4-1}{x^4+1}=\frac{\left(x^4+1\right)^2+\left(x^4-1\right)^2}{x^8-1}=\frac{2\left(x^8+1\right)}{x^8-1}=2z\)
\(\Rightarrow z=\frac{y+\frac{1}{y}}{2}=\frac{y^2+1}{2y}\)