Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x-y-z}{x}=\frac{-x+y-z}{y}=\frac{-x-y+z}{z}=\frac{x-y-z-x+y-z-x-y+z}{x+y+z}\)\(=\frac{-\left(x+y+z\right)}{x+y+z}\)
Nếu \(x+y+z=0\)thì \(\hept{\begin{cases}x+y=-z\\y+z=-x\\z+x=-y\end{cases}}\)
\(A=\left(1+\frac{y}{x}\right)\left(1+\frac{z}{y}\right)\left(1+\frac{x}{z}\right)\)
\(=\frac{x+y}{x}.\frac{y+z}{y}.\frac{z+x}{z}\)
\(=\frac{-z}{x}.\frac{-x}{y}.\frac{-y}{z}=-1\)
Nếu \(x+y+z\ne0\)thì \(\frac{x-y-z}{x}=\frac{-x+y-z}{y}=\frac{-x-y+z}{z}=-1\)
suy ra: \(\frac{x-y-z}{x}=-1\) \(\Rightarrow\) \(x-y-z=-x\) \(\Rightarrow\) \(y+z=2x\)
\(\frac{-x+y-z}{y}=-1\) \(-x+y-z=-y\) \(x+z=2y\)
\(\frac{-x-y+z}{z}=-1\) \(-x-y+z=-z\) \(x+y=2z\)
\(A=\left(1+\frac{y}{x}\right)\left(1+\frac{z}{y}\right)\left(1+\frac{x}{z}\right)\)
\(=\frac{x+y}{x}.\frac{y+z}{y}.\frac{x+z}{z}\)
\(=\frac{2z}{x}.\frac{2x}{y}.\frac{2y}{z}=8\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}\right)\)
\(\left(\sqrt{3}\right)^2=P+\frac{2\left(z+y+x\right)}{xyz}\)
Mà x+y+z=xyz
=> P+2=3=>P=1
Vậy P=1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+y+z=\frac{xy+yz+xz}{xyz}\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+y+z=xy+yz+xz\) (vì xyz = 1 )
Ta có: \(\left(xyz-1\right)+\left(x+y+z\right)-\left(xy+yz+xz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(xyz-xy\right)-\left(xz-x\right)-\left(yz-y\right)+\left(z-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(xy\left(z-1\right)-x\left(z-1\right)-y\left(z-1\right)+\left(z-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(z-1\right)\left(x-1\right)\left(y-1\right)=0\) (mk lm hơi tắt, thông cảm)
\(\Leftrightarrow\) \(x-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x=1\)
hoặc \(y-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(y=1\)
hoặc \(z-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(z=1\)
Vậy....
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^3=0^3\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\frac{1}{x}\right)^3+\left(\frac{1}{y}\right)^3+\left(\frac{1}{z}\right)^3+3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1^3}{x^3}+\frac{1^3}{y^3}+\frac{1^3}{z^3}=-3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
Lại có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{-1}{z}\\\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{-1}{x}\\\frac{1}{z}+\frac{1}{x}=\frac{-1}{y}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\left(-3\right).\frac{-1}{z}.\frac{-1}{x}.\frac{-1}{y}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\) ( đpcm )
Vậy nếu \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\) thì \(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\)
Chúc bạn học tốt ~
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{-1}{z}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^3=\left(-\frac{1}{z}\right)^3\Leftrightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{3}{x^2y}+\frac{3}{xy^2}=-\frac{1}{z^3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{-3}{x^2y}-\frac{3}{xy^2}=\frac{-3}{xy}.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{-3}{xy}.-\frac{1}{z}=\frac{3}{xyz}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Dễ dàng chứng minh được với mọi \(x,y>0\) thì ta luôn có:
\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\) \(\left(\text{*}\right)\)
Thật vậy, xét hiệu \(x^3+y^3-xy\left(x+y\right)=x^3-x^2y+-xy^2+y^3=x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\)
\(x^3+y^3-xy\left(x+y\right)=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\) với mọi \(x,y\) và \(x+y>0\))
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(x-y=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y\)
Vậy, bất đẳng thức \(\left(\text{*}\right)\) luôn đúng với mọi \(x,y>0\)
Do đó, từ \(\left(\text{*}\right)\) ta suy ra:
\(x^3+y^3+xyz\ge xy\left(x+y\right)+xyz\) (do \(x,y,z>0\))
\(\Leftrightarrow\) \(x^3+y^3+xyz\ge xy\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y+z\right)\) (do \(xyz=1\))
Khi đó, vì hai vế của bđt trên cùng dấu nên ta lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức, tức là:
\(\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}\) \(\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{xyz}{xy\left(x+y+z\right)}\) (do \(xyz=1\))
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{z}{x+y+z}\)
Hoàn toàn tương tự với vòng hoán vị \(x\) \(\rightarrow\) \(y\) \(\rightarrow\) \(z\), ta cũng chứng minh được:
\(\frac{1}{y^3+z^3+1}\le\frac{x}{x+y+z}\) \(\left(2\right)\) và \(\frac{1}{z^3+x^3+1}\le\frac{y}{x+y+z}\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế \(\left(1\right);\) \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\), ta được:
\(\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\le\frac{z}{x+y+z}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow xy+yz+xz=0\)
CM : \(x^3y^3+y^3z^3+x^3z^3=3x^2y^2z^2\)
CM: \(x+y+z=0\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(\Rightarrow\frac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}=\frac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2-2\left(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3\right)}{3xyz}=\frac{3x^2y^2z^2}{xyz}=xyz\)
ta co : a+b+c=bc+ac+ab/abc
=a+b+c=bc+ac+ab (vi abc=1)
ta co : (a-1).(b-1).(c-1)
=(ab-a-b+1).(c-1)
=abc-ab-ac+a-bc+b+c-1
=(abc-1)+(a+b+c)-(ab+ac+bc)
=(1-1)+(bc+ac+ab)-(ab+ac+bc)
=0
do (a-1).(b-1).(c-1)=0 (cmt)
=>a=b=c=1
thay vao p
=>p=(1^19-1).(1^5-1).(1^1890-1)
=(1-1).(1-1).(1-1)
0
Tớ nhầm a,b,c với x,y,z nhe
thông cảm bệnh nghề nghiệp
p=0 là đúng đấy
nhớ cho tớ nhé
hí hí hí hí hí ................