Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho x, y, z >1 và x+y+z = xyz. tìm GTNN của B=\(\dfrac{y-2}{x^2}+\dfrac{z-2}{y^2}+\dfrac{x-2}{z^2}\)
Bạn không có cơ sở để ghi rằng \(P\geq \sum \frac{2(x-1)}{xz}-\sum \frac{1}{x}\) do $x,y,z$ có thể tồn tại số $\leq 1$
Cho x, y, z > 0 và xyz=1. CMR :
\(\dfrac{x^2}{1+y}+\dfrac{y^2}{1+z}+\dfrac{z^2}{1+z}\ge\dfrac{3}{2}\)
Đề sai nhé, \(\dfrac{z^2}{x+1}\) mới đúng nha
\(\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z^2}{x+1}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3}\left(\text{Svácxơ}\right)\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Ta có: \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)
\(\Rightarrow x+y+z+3\le2\left(x+y+z\right)\)
\(T=\dfrac{\left(xy\right)^2}{zx+zy}+\dfrac{\left(yz\right)^2}{xy+xz}+\dfrac{\left(zx\right)^2}{yx+yz}\ge\dfrac{xy+yz+zx}{2}\ge\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}=\dfrac{3}{2}\)
\(Q=\dfrac{xyz}{z^3\left(x+y\right)}+\dfrac{xyz}{x^3\left(y+z\right)}+\dfrac{xyz}{y^3\left(x+z\right)}\)
\(=\dfrac{1}{z^3\left(x+y\right)}+\dfrac{1}{y^3\left(x+z\right)}+\dfrac{1}{x^3\left(y+z\right)}\) (vì xyz = 1)
\(=\dfrac{\left(\dfrac{1}{z}\right)^2}{z\left(x+y\right)}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{y}\right)^2}{y\left(x+z\right)}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}\right)^2}{x\left(y+z\right)}\)
Áp dụng BĐT cauchy schwarz với x,y,z > 0 ta có:
\(Q\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}=\dfrac{\left(xy+yz+xz\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}=\dfrac{xy+yz+xz}{2}\)Mặt khác theo BĐT cauchy với x;y;z>0 thì
\(xy+yz+xz\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3\)
Vậy MinQ = \(\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Ta có \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{xyz}=1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(yz\right)^2+\left(xz\right)^2+\left(xy\right)^2+2xyz}{\left(xyz\right)^2}=1\)
<=> (xy)2 + (yz)2 + (zx)2 + 2xyz = (xyz)2
<=> (xy)2 + (yz)2 + (xz)2 + 2xyz(x + y + z) = (xyz)2
<=> (xy + yz + zx)2 = (xyz)2
<=> \(\left[{}\begin{matrix}xy+yz+zx=xyz\\xy+yz+zx=-xyz\end{matrix}\right.\)
+) Khi xy + yz + zx = -xyz
=> \(\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=-1< 0\left(\text{loại}\right)\)
=> xy + yz + zx = xyz
<=> \(xyz\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=xyz\Leftrightarrow xyz\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-1\right)=0\)
<=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\)
<=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}\)
<=> \(\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{-\left(x+y\right)}{\left(x+y+z\right)z}\)
<=> \(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{xz+yz+z^2}+\dfrac{1}{xy}\right)=0\)
<=> \(\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(zx+yz+z^2\right)xy}=0\)
<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\z=-x\end{matrix}\right.\)
Khi x = -y => y = 1 => P = 1
Tương tự y = -z ; z = -x được P = 1
Vậy P = 1
Giả thiết thiếu rồi em, chỗ \(\dfrac{1}{x+1}+...\) thiếu đoạn sau nữa