K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TL
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 3 2018
Bài 3:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{y}+\frac{y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{z}+\frac{z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x+y+z}{4}\geq 3\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3-\frac{x+y+z}{4}\geq 3-\frac{6}{4}\) (do \(x+y+z\leq 6\) )
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)
Bài 4:
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{1}=3\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)
1 tháng 11 2017
A = \(\left(x^3+y^3\right)+\left(x^2z+y^2z-xyz\right)=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+z\left(x^2-xy+y^2\right)=\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y+z\right)=\left(x^2-xy+y^2\right).0=0\)Kuroba Kaito = Kaito Kid :D
NK
0
10 tháng 3 2021
Ta có : \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\)
Đặt \(Q=x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge x+y+z+\dfrac{9}{x+y+z}\)
\(=x+y+z+\dfrac{1}{x+y+z}+\dfrac{8}{x+y+z}\)
Áp dụng BĐT Cô - si có :
\(\left(x+y+z\right)+\dfrac{1}{x+y+z}\ge2\sqrt{\left(x+y+z\right)\cdot\dfrac{1}{x+y+z}}=2\)
Do \(x+y+z\le1\Rightarrow\dfrac{8}{x+y+z}\ge8\)
Do đó : \(Q\ge8+2=10\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 3 2021
\(x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge x+y+z+\dfrac{9}{x+y+z}\)
\(VT\ge x+y+z+\dfrac{1}{x+y+z}+\dfrac{8}{x+y+z}\ge2\sqrt{\dfrac{x+y+z}{x+y+z}}+\dfrac{8}{1}=10\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
TN
0
NN
1
15 tháng 4 2019
(x+y)(y+z)(x+z)=8xyz
<=>\((xy+xz+y^2+yz)(x+z)=8xyz\)
<=>\(x^2y+x^2z+y^2z+xyz+xyz+xz^2+z^2y+yz^2=8xyz\)
<=> \(x^2y+x^2z+y^2x+xz^2+y^2z+yz^2-6xyz=0\)
<=> \(y(x^2+z^2-2xz)+x(y^2-2yz+z^2)+z(y^2-2yx+x^2)=0\)
<=>\(y(x-z)^2+x(y-z)^2+z(x-y)^2=0\)
Mà x,y,z dương
=> \((x-z)^2=0=>x=z\)
\((x-y)^2=0=>x=y\)
\((y-z)^2=0=>y=z\)
Vậy x=y=z
AS
1
5 tháng 5 2017
\(P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)=x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}+x+y+z=x+y+z\)
\(\Rightarrow Q=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+y}+\frac{z^2}{x+y}=0\) (dpcm)
Ta có: \(x+y+z=0\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=-\left(y+z\right)\\y=-\left(z+x\right)\\z=-\left(x+y\right)\end{matrix}\right.\)
Đặt \(A=\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}+3\)
Thay \(x=-\left(y+z\right),\) \(y=-\left(z+x\right),\) \(z=-\left(x+y\right)\) vào A, ta có:
\(A=\frac{y+z}{-\left(y+z\right)}+\frac{z+x}{-\left(z+x\right)}+\frac{x+y}{-\left(x+y\right)}+3\)
\(\Leftrightarrow A=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)+3\)
\(\Leftrightarrow A=-3+3\)
\(\Leftrightarrow A=0\) ( ĐPCM )
ta có:
\(\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}+3\)
=\(\frac{y+z}{x}+1+\frac{x+z}{y}+1+\frac{x+y}{z}+1\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
mà x+y+z=0
\(\Rightarrow\)dpcm