MN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 7 2021
\(P=\dfrac{x^3}{2x+3y+5z}+\dfrac{y^3}{2y+3z+5x}+\dfrac{z^3}{2z+3x+5y}\)
\(P=\dfrac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\dfrac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\dfrac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\)
\(P\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(P\ge\dfrac{x^2+y^2+z^2}{10}\ge\dfrac{1}{30}\)
\(P_{min}=\dfrac{1}{30}\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
R
26 tháng 11 2021
Đặt \(\left(x-1;y-2;z-3\right)=\left(a;b;c\right)=abc>0\)
Điều kiện bài toán trở thành :
\(a+1+b+2+c+3< 9\)
\(\sqrt{a+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\sqrt{c+5\left(a+1\right)+4\left(b+2\right)+3+\left(c+3\right)}\)
\(=\left(a+1\right)\left(b+2\right)=\left(b+2\right)\left(c+3\right)=\left(c+3\right)+\left(a+1\right)+11+a+b+c< 3\)
\(a+b+c< 3\)
\(=\sqrt{a+\sqrt{b}+\sqrt{c}+ab+bc+ca}\)
Mặt khác, do aa không âm, ta luôn có:
\(\text{(√a−1)2(a+2√a)≥0(a−1)2(a+2a)≥0}\)
\(\text{⇒a2−3a+2√a≥0⇒a2−3a+2a≥0}\)
\(\text{⇒2√a≥a(3−a)≥a(b+c)⇒2a≥a(3−a)≥a(b+c) (1)}\)
Hoàn toàn tương tự ta có:\(\text{ 2√b≥b(c+a)2b≥b(c+a) (2)}\)
\(\text{2√c≥c(a+b)2c≥c(a+b) (3)}\)
Cộng vế với vế (1);(2);(3):
\(\text{2(√a+√b+√c)≥2(ab+bc+ca)2(a+b+c)≥2(ab+bc+ca)}\)
\(\text{⇔√a+√b+√c≥ab+bc+ca⇔a+b+c≥ab+bc+ca}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\text{a=b=c=0a=b=c=0 hoặc a=b=c=1a=b=c=1}\)
⇒x=...;y=...;z=...
30 tháng 5 2020
\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)
\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)
\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)
\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)
Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
29 tháng 2 2020
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:
\(\frac{x}{x^3+y^2+z}=\frac{x\left(\frac{1}{x}+1+z\right)}{\left(x^3+y^2+z\right)\left(\frac{1}{x}+1+z\right)}\le\frac{1+x+xz}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{1+x+xz}{9}\)
Tương tự rồi cộng lại ta được:
\(T\le\frac{3+x+y+z+xy+yz+zx}{9}=\frac{6+xy+yz+zx}{9}\le\frac{6+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{9}=1\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=1\)
DT
1
19 tháng 5 2018
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương a,b,c:
\(x^3+1+1\ge3\sqrt[3]{x^3.1.1}=3x\left(1\right)\)
Hoàn toàn tương tự, ta đc: \(y^3+1+1\ge3y\left(2\right)\)
Và: \(z^3+1+1\ge3z\left(3\right)\)
Cộng (1)(2)(3) VTV: \(Q+6\ge3\left(x+y+x\right)=3.3=9\)
\(\Leftrightarrow Q\ge9-6=3\Rightarrow Q_{Min}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
BX
2
31 tháng 8 2023
Ta có \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2+y^2+2yz+z^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz\ge0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2xz+2yz\)
\(\Leftrightarrow3x^2+3y^2+3z^2\ge x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge3^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\)
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
1 tháng 9 2023
Áp dụng Bđt Bunhiacopxki cho các cặp số dương \(\left(1;x\right);\left(1;y\right);\left(1;z\right)\)
\(\left(1.x+1.y+1.z\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow P=x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{9}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{z}\Rightarrow x=y=z=\dfrac{3}{3}=1\)
Vậy \(GTNN\left(P\right)=3\left(tạix=y=z=1\right)\)
LN
8
16 tháng 4 2016
bạn ấy ko biết thì bạn ấy hỏi sao câu lại chửi cậu ấy là ngu
Giả sử z lớn nhất trong 3 số x,y,z suy ra x+y+z\(\le\)3z => z\(\ge\)1
Kết hợp với điều kiện đề bài =>\(1\le z\le2\)
Ta có \(x^3+y^3\le\left(x+y\right)^3=\left(3-z\right)^3\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3\le\left(3-z\right)^3+z^3=27-27z+9z^2=9\left(z-1\right)\left(z-2\right)+9\)
Do \(1\le z\le2\)nên \(9\left(z-1\right)\left(z-2\right)\le0\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3\le9\)
Dấu "=" xảy ra khi (x,y,z)=(0,1,2) và các hoán vị