K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

8 tháng 7 2018

Đặt \(a=\frac{9+3\sqrt{17}}{4};b=\frac{3+\sqrt{17}}{4}\Rightarrow a=3b\) và \(a+1=2b^2=c=\frac{13+3\sqrt{17}}{4}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(x^2+b^2y^2\ge2bxy\)

\(by^2+z^2\ge2byz\)

\(a\left(z^2+x^2\right)\ge2azx\)

Cộng vế theo vế của các BĐT ta được: 

\(\left(a+1\right)\left(x^2+z^2\right)+2b^2y^2\ge2b\left(xy+yz\right)+2azx\)

\(\Rightarrow c\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2b\left(xy+yz+3zx\right)\). Tiếp tục thay các giá trị của \(xy+yz+3zx\)vào b và c để được: 

\(P=x^2+y^2+z^2\ge\frac{\sqrt{17}-3}{2}\)

\(\Rightarrow x=z=\frac{1}{\sqrt[4]{17}};y=\sqrt{\frac{13-\sqrt{17}-51}{34}}\left(TMĐK\right)\)

\(\Rightarrow P=\frac{\sqrt{17}-3}{2}\)là GTNN của biểu thức P ( đpcm )

8 tháng 5 2018

Đặt \(a=\frac{9+3\sqrt{17}}{4}\) và  \(b=\frac{3+\sqrt{17}}{4}\)khi đó \(a=3b\)và  \(a+1=2b^2=c=\frac{13+3\sqrt{17}}{4}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta thu được các BĐT sau:  \(x^2+b^2y^2\ge2bxy\)

                                                                         \(by^2+z^2\ge2byz\)

                                                                         \(a\left(z^2+x^2\right)\ge2azx\)

Cộng các vế theo các vế các BĐT thu được để có: 

\(\left(a+1\right)\left(x^2+z^2\right)+2b^2y^2\ge2b\left(xy+yz\right)+2azx\)

Hay \(c\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2b\left(xy+yz+3zx\right)\). Từ đó ta thay các giá trị của \(xy+yz+3zx\); b và c để có được

\(P=x^2+y^2+z^2\ge\frac{\sqrt{17}-3}{2}\)

Cuối cùng, với \(x=z=\frac{1}{\sqrt[4]{17}}\)và \(y=\sqrt{\frac{13\sqrt{17}-51}{34}}\)( Thỏa mãn giả thiết )  thì \(P=\frac{\sqrt{17}-3}{2}\)

Nên ta kết luận \(\frac{\sqrt{17}-3}{2}\)là giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x^2+y^2+z^2\)

NV
12 tháng 12 2020

\(M=\dfrac{\dfrac{1}{16}}{x^2}+\dfrac{\dfrac{1}{4}}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{49}{16}\)

\(M_{min}=\dfrac{49}{16}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{7}};\dfrac{2}{\sqrt{14}};\dfrac{2}{\sqrt{7}}\right)\)

13 tháng 12 2020

cm bn

NV
12 tháng 12 2020

\(M=\dfrac{\dfrac{1}{16}}{x^2}+\dfrac{\dfrac{1}{4}}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{7}{4}\)

\(M_{min}=\dfrac{7}{4}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{\sqrt{2}};1\right)\)

12 tháng 12 2020

 Nguyễn Việt Lâm anh oiiiiiiiiiii

15 tháng 4 2021

\(A=x^2+y^2\) hả bạn?

7 tháng 5 2018

Áp dụng Bunyakovsky, ta có :

\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x.1+y.1\right)^2=1\)

=> \(\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\)

=> \(Min_C=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Mấy cái kia tương tự