Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì xyz = 1 nên ta có thể đặt \(x=\frac{a^2}{bc};y=\frac{b^2}{ac};z=\frac{c^2}{ab}\left(a,b,c>0,a^2\ne bc,b^2\ne ac,c^2\ne ab\right)\)
Khi đó bất đẳng thức tương đương với
\(\frac{a^4}{\left(a^2-bc\right)^2}+\frac{b^4}{\left(b^2-ac\right)^2}+\frac{c^4}{\left(c^2-ab\right)^2}\ge1\)
Mà ta có
\(\frac{a^4}{\left(a^2-bc\right)^2}+\frac{b^4}{\left(b^2-ac\right)^2}+\frac{c^4}{\left(c^2-ab\right)^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2-bc\right)^2+\left(b^2-ab\right)^2+\left(c^2-ab\right)^2}\)
Ta cần chứng minh
\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2-bc\right)^2+\left(b^2-ab\right)^2+\left(c^2-ab\right)^2}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\left(a^2-bc\right)^2+\left(b^2-ab\right)^2+\left(c^2-ab\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Ơ thế liên quan l đến cậu à Thành? Hay nên gọi là Thánh chứ nhỉ? :) Có ai khiến cậu trả lời không mà kêu lắm :> Đấy là bài tập chỗ học thêm bên ngoài, đ' làm được thì lên hỏi thắc mắc làm l gì :> Đ' hỏi bài tập ở lớp thì thôi đừng ngồi chõ mồm vào :>
Ta có:
\(\frac{x}{1+x^2}+\frac{18y}{1+y^2}+\frac{4z}{1+z^2}=xyz\left(\frac{1}{yz\left(1+x^2\right)}+\frac{18}{xz\left(1+y^2\right)}+\frac{4}{xy\left(1+z^2\right)}\right)\)
\(=xyz\left(\frac{1}{yz+x\left(x+y+z\right)}+\frac{18}{xz+y\left(x+y+z\right)}+\frac{4}{xy+z\left(x+y+z\right)}\right)\)
\(=xyz\left(\frac{1}{\left(x+y\right).\left(x+z\right)}+\frac{18}{\left(y+x\right).\left(y+z\right)}+\frac{4}{\left(z+x\right).\left(z+y\right)}\right)\)
\(=xyz.\frac{\left(z+y\right)+18.\left(x+z\right)+4\left(x+y\right)}{\left(x+y\right).\left(y+z\right).\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{xyz\left(22x+5y+19z\right)}{\left(x+y\right).\left(y+z\right).\left(z+x\right)}\)(đpcm)
Bạn tham khảo tại đây:
Câu hỏi của Tôi Là Ai - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Do xyz = 1, ta có thể đặt \(a=\frac{x}{x-1},\)\(b=\frac{y}{y-1},\)\(c=\frac{z}{z-1}\)
Ta có \(abc=\frac{x}{x-1}.\frac{y}{y-1}.\frac{z}{z-1}=\frac{xyz}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)}=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)}\) (1)
Mặt khác \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=\left(\frac{x}{x-1}-1\right).\left(\frac{y}{y-1}-1\right).\left(\frac{z}{z-1}-1\right)\)
\(=\frac{x-x+1}{x-1}.\frac{y-y+1}{y-1}.\frac{z-z+1}{z-1}=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)}\)(2)
So sánh (1) và (2) ta có \(abc=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(abc=abc-ab-bc-ca+a+b+c-1\)\(\Leftrightarrow\)\(ab+bc+ca-a-b-c+1=0\) (3)
Mà với mọi a, b, c ta luôn có \(\left(a+b+c-1\right)^2\ge0\)
Hay \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca-a-b-c+1\right)-1\ge0\) (4)
Thay (3) vào (4) ta được \(a^2+b^2+c^2\ge1\) hay \(\frac{x^2}{\left(x-1\right)^2}+\frac{y^2}{\left(y-1\right)^2}+\frac{z^2}{\left(z-1\right)^2}\ge1\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=a\\z-x=b\\y-z=c\end{matrix}\right.\) đề bài trở thành \(\left\{{}\begin{matrix}abc\ne0\\a+b+c=0\\ab=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=-\left(a+b\right)\\b=-\frac{1}{a}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{c^2}=\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\\b^2=\frac{1}{a^2}\end{matrix}\right.\)
Ta cần chứng minh \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge4\)
\(P=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{a^2}+a^2+\frac{1}{\left(a-\frac{1}{a}\right)^2}\)
\(P=\left(a-\frac{1}{a}\right)^2+\frac{1}{\left(a-\frac{1}{a}\right)^2}+2\ge2\sqrt{\left(a-\frac{1}{a}\right)^2.\frac{1}{\left(a-\frac{1}{a}\right)^2}}+2=4\) (đpcm)