K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

9 tháng 5 2019

 Mình nghĩ thế này ạ

xy + 2(yz + xz) =5 => xy + 2yz + 2xz =5

Mình áp dụng bất đẳng thức này nhé :)
Ta có:  \(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\forall x,y\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\ge xy\forall x,y\)(1)

Chứng minh tương tự ta được \(y^2+z^2\ge2yz\forall y,z\)(2)

\(x^2+z^2\ge2xz\forall x,z\)(3)

Cộng vế (1) (2) (3) ta được \(\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)+y^2+z^2+x^2+z^2\ge xy+2yz+2xz\forall x,y,z\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2+x^2+y^2+z^2+z^2\)\(\ge5\)\(\forall x,y,z\)

\(\Rightarrow\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{2}y^2+2z^2\ge5\forall x,y,z\)

nhân cả 2 vế với 2 nè

\(\Rightarrow3x^2+3y^2+4z^2\ge10\forall x,y,z\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2\right)+4z^2\ge10\forall x,y,z\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z;x=z\\xy+2\left(yz+xz\right)=5\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x^2+2.\left(x^2+x^2\right)=5\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\5x^2=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x^2=1\end{cases}\Leftrightarrow}}\)x=y=z = 1 hoăc 

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 10 tại x=y=z=1;-1

NV
5 tháng 2 2021

\(4x^2+4y^2\ge8xy\)

\(16x^2+z^2\ge8zx\)

\(16y^2+z^2\ge8yz\)

Cộng vế với vế:

\(20x^2+20y^2+2z^2\ge8\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow10x^2+10y^2+z^2\ge4\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)

5 tháng 2 2021

Em cảm ơn thầy ạ.

8 tháng 5 2018

Đặt \(a=\frac{9+3\sqrt{17}}{4}\) và  \(b=\frac{3+\sqrt{17}}{4}\)khi đó \(a=3b\)và  \(a+1=2b^2=c=\frac{13+3\sqrt{17}}{4}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta thu được các BĐT sau:  \(x^2+b^2y^2\ge2bxy\)

                                                                         \(by^2+z^2\ge2byz\)

                                                                         \(a\left(z^2+x^2\right)\ge2azx\)

Cộng các vế theo các vế các BĐT thu được để có: 

\(\left(a+1\right)\left(x^2+z^2\right)+2b^2y^2\ge2b\left(xy+yz\right)+2azx\)

Hay \(c\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2b\left(xy+yz+3zx\right)\). Từ đó ta thay các giá trị của \(xy+yz+3zx\); b và c để có được

\(P=x^2+y^2+z^2\ge\frac{\sqrt{17}-3}{2}\)

Cuối cùng, với \(x=z=\frac{1}{\sqrt[4]{17}}\)và \(y=\sqrt{\frac{13\sqrt{17}-51}{34}}\)( Thỏa mãn giả thiết )  thì \(P=\frac{\sqrt{17}-3}{2}\)

Nên ta kết luận \(\frac{\sqrt{17}-3}{2}\)là giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x^2+y^2+z^2\)

19 tháng 9 2019

Bài này có nhiều cách, xin phép làm 2 cách đơn giản. Tuy nhiên ở cách 2 tính sai chỗ nào thì tự check:) (chắc ko sai đâu:v đừng lo quá mức)

Cách 1: \(x^2+y^2\ge2xy\)

\(2x^2+2z^2\ge4xz\)

\(2y^2+2z^2\ge4yz\)

Cộng theo vế 3 bđt trên kết hợp giả thiết suy ra \(S\ge10\)

Cách 2:

Xét \(S-2\left[xy+2yz+2zx\right]\)

\(=\left(x-y\right)^2+2\left(y-z\right)^2+2\left(z-x\right)^2\ge0\)

Do đó...

14 tháng 11 2019

Tuy nhiên, sau đây mới là cách phân tích ngắn nhất chỉ với 2 bình phương không âm!

Ta có:\(S-2\left[xy+2\left(yz+zx\right)\right]\)\(=2\left(x-y\right)^2+\left(x+y-2z\right)^2\ge0\)

Vậy \(S\ge10\). It's verry beautiful!

10 tháng 5 2019

\(S=3\left(x^2+y^2\right)+4z^2\)

\(=\left(x^2+y^2\right)+2\left[\left(y^2+z^2\right)+\left(x^2+z^2\right)\right]\)

\(\ge2xy+2\left(2xy+2xz\right)=2\left[xy+2\left(xy+xz\right)\right]=10\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

7 tháng 1 2021

Từ đk trên ta có:  \(2y^2+2zy+2z^2=2-3x^2\)

<=> \(3x^2+2y^2+2zy+2z^2=2\left(1\right)\)

<=>\(\left(x+y+z\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2=2\)

Do (x-y)2≥0; (x-z)2≥0 nên từ(*) suy ra (x+y+z)2≤2

Hay \(-\sqrt{2}\le x+y+z\le\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi x-y =0 và x-z=0 hay x=y=z

Thay vào (1) ta được 9x2=2 ; x=\(\dfrac{\sqrt{2}}{3};\dfrac{-\sqrt{2}}{3}\)

Với x=y=z =x=\(\dfrac{\sqrt{2}}{3};\dfrac{-\sqrt{2}}{3}\)thì max=\(\sqrt{2}\), min =\(-\sqrt{2}\)

7 tháng 4 2016

a, Ở phân số tử là a đầu tiên, thì nhân cả tử và mẫu cho c. Ở phân số thứ 2 có tử là b, nhân với ac, còn phân số còn lại giữ nguyên. Thì bạn sẽ có 3 phân số cùng mẫu nhé :3 Xong công vào ra 1 ^^

b, Viết bình phương (x+y+z)^2= bla blo :v Xong thay giữ kiện xy +yz+zx = 1 vào là done. Xong để có 10x^2+10y^2+z^2 thì dễ rồi nhé ^^

13 tháng 11 2019

a. Câu hỏi của Nguyễn Văn An - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath