![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1 mảnh đất HCN có chu vi là 120m,có chiều rộng bằng \(\frac{3}{5}\)chiều dài.
a Tính diện tích mảnh đất đó
b Người ta chia mảnh vườn thành 2 khu.Biết\(\frac{1}{2}\)
diện tích trồng cây ăn quả bằng \(\frac{2}{5}\)diện tích khu trồng hoa.Tính diện tích mỗi khu.
ĐẶt \(A=\frac{25x}{y+z}+25+\frac{4y}{z+x}+4+\frac{9z}{x+y}+9\)
\(A=\left(x+y+z\right)\left(\frac{25}{y+z}+\frac{4}{z+x}+\frac{9}{x+y}\right)\)
Chứng minh Bất đẳng thức phụ \(\frac{m^2}{a}+\frac{n^2}{b}+\frac{p^2}{c}\ge\frac{\left(m+n+p\right)^2}{a+b+c}\forall a,,b,c>0\)rồi áp dụng, ta có
\(A\ge\left(x+y+z\right)\frac{\left(5+2+3\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=50\)
\(\Rightarrow\frac{25x}{y+z}+\frac{4y}{z+x}+\frac{9z}{x+y}\ge12\forall x,y,z>0\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=z^2+\left(x+y\right)^2+2z\left(x+y\right)=36\)
áp dụng BĐT cosi :
\(z^2+\left(x+y\right)^2\ge2z\left(x+y\right)\)
<=> \(z^2+\left(x+y\right)^2+2z\left(x+y\right)\ge4z\left(x+y\right)=36< =>z\left(x+y\right)\ge9\)
ta lại có \(\dfrac{x+y}{xyz}=\dfrac{x}{xyz}+\dfrac{y}{xyz}=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\) áp dụng BĐT buhihacopxki dạng phân thức => \(\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\ge\dfrac{4}{yz+xz}=\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\dfrac{4}{9}\left(đpcm\right)\)
dấu bằng xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}yz=xz< =>x=y\\x+y+z=6\\z^2=\left(x+y\right)^2\end{matrix}\right.< =>\left[{}\begin{matrix}x+y+z=6\\z=2x=2y\end{matrix}\right.< =>\left[{}\begin{matrix}x=y=\dfrac{3}{2}\\z=3\end{matrix}\right.\)
-Ủa vì sao\(\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\dfrac{4}{9}\)? Đáng lẽ là \(\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\le\dfrac{4}{9}\) chứ?
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(A=x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\)
\(\Leftrightarrow A=x+y+z+\dfrac{9}{9x}+\dfrac{9}{9y}+\dfrac{9}{9z}\)
\(\Leftrightarrow A=x+y+z+\dfrac{1}{9x}+\dfrac{8}{9x}+\dfrac{1}{9y}+\dfrac{8}{9y}+\dfrac{1}{9z}+\dfrac{8}{9z}\)
\(\Leftrightarrow A=\left(x+\dfrac{1}{9x}\right)+\left(y+\dfrac{1}{9y}\right)+\left(z+\dfrac{1}{9z}\right)+\left(\dfrac{8}{9x}+\dfrac{8}{9y}+\dfrac{8}{9z}\right)\)
\(\Leftrightarrow A=\left(x+\dfrac{1}{9x}\right)+\left(y+\dfrac{1}{9y}\right)+\left(z+\dfrac{1}{9z}\right)+\dfrac{8}{9}.\left(\dfrac{1^2}{x}+\dfrac{1^2}{y}+\dfrac{1^2}{z}\right)\)
\(\Rightarrow A\ge2\sqrt{x.\dfrac{1}{9x}}+2\sqrt{y.\dfrac{1}{9y}}+2\sqrt{z.\dfrac{1}{9z}}+\dfrac{8}{9}.\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow A\ge2\sqrt{\dfrac{1}{9}}+2\sqrt{\dfrac{1}{9}}+2\sqrt{\dfrac{1}{9}}+\dfrac{8}{9}.\dfrac{3^2}{1}\)
\(\Rightarrow A\ge2.\dfrac{1}{3}.3+8=2+8=10\)
Vậy ta có BĐT cần chứng minh.
Dấu\("="\) xảy ra\(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có \(27=xy+yz+zx\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\) \(\Leftrightarrow9\ge\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\) \(\Leftrightarrow729\ge\left(xyz\right)^2\) \(\Leftrightarrow27\ge xyz\) \(\Leftrightarrow27\left(xyz\right)^2\ge\left(xyz\right)^3\) \(\Leftrightarrow\sqrt{3}\sqrt[3]{xyz}\ge\sqrt{xyz}\) (lấy căn bậc 6 2 vế) \(\Leftrightarrow3\sqrt[3]{xyz}\ge\sqrt{3xyz}\)
Do đó \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\ge\sqrt{3xyz}\). ĐTXR \(\Leftrightarrow x=y=z=3\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho hai số không âm ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)
\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8\sqrt{\left(xyz\right)^2}=8xyz\)
Dấu "=" <=> x = y = z. (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng BĐT cô-si cho 2 số dương ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)
\(x+z\ge2\sqrt{xz}\)
=>\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{xz}=8\sqrt{x^2y^2z^2}=8xyz\)
Dấu"=" xảy ra <=>x=y y=z z=x=>x=y=z
=>\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=8xyz\Leftrightarrow x=y=z\)(ĐPCM)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm, ta được:
\(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\Rightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\frac{y+z}{2}\ge\sqrt{yz}\Rightarrow y+z\ge2\sqrt{yz}\)
\(\frac{x+z}{2}\ge\sqrt{xz}\Rightarrow x+z\ge2\sqrt{xz}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge8\sqrt{\left(xyz\right)^2}=8xyz\)(Vì x,y,z > 0)