Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo giả thiết ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{z}\Leftrightarrow xz+yz=xy\)
\(\Leftrightarrow xy-xz-yz=0\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+xy-xz-yz=x^2+y^2+z^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\left|x+y-z\right|\)
Mà x, y, z là các số hữu tỉ nên \(\left|x+y-z\right|\)là số hữu tỉ
Vậy \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)là số hữu tỉ (đpcm)
Ta có:
\(\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+0}=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{xy}+\dfrac{2}{yz}+\dfrac{2}{zx}}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}\)
\(=\left|\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right|\) là số hữu tỉ
Thật sự ra mục đích bài này đi chứng minh biểu thức trong ngoặc là scp
Đây là dề thi HSG toán cấp tỉnh Đồng Tháp
Có: \(\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}\)
\(=\sqrt{\left(x^2+xy+yz+xz\right)\left(y^2+xy+yz+xz\right)\left(z^2+xy+yz+xz\right)}\)
Sau đó thực hiên phân tích đa thức thành nhân tử mỗi ngoặc
\(=\sqrt{\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(x+z\right)^2}\)
\(=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\)là số hữu tỉ
Vậy
Câu số 1b đề thi hsg
Chào anh từ huyện Cao Lãnh
Ta có: \(x+y=z\Rightarrow x=z-y\)
\(A=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}=\sqrt{\dfrac{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2}{x^2y^2z^2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(z-y\right)^2y^2+y^2z^2+\left(z-y\right)^2z^2}{x^2y^2z^2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{y^4+y^2z^2-2y^3z+y^2z^2+z^4+y^2z^2-2yz^3}{x^2y^2z^2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(y^4+2y^2z^2+z^4\right)-2yz\left(y^2+z^2\right)+y^2z^2}{x^2y^2z^2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(y^2+z^2\right)^2-2yz\left(y^2+z^2\right)+y^2z^2}{x^2y^2z^2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(y^2+z^2-yz\right)^2}{x^2y^2z^2}}=\left|\dfrac{y^2+z^2-yz}{xyz}\right|\)
Là một số hữu tỉ do x,y,z là số hữu tỉ
Đặt \(\hept{\begin{cases}x-y=a\\y-z=b\\z-x=c\end{cases}}\)
Vì \(\left(x-y\right)+\left(y-z\right)+\left(z-x\right)=0\) nên \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\)
Ta có : \(P=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2b^2+a^2\left(a+b\right)^2+a^2b^2}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}}=\sqrt{\frac{a^4+b^4+a^2b^2+2ab^3+2ab^3+2a^2b^2}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\left(a^2+b^2+ab\right)^2}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}}=\frac{a^2+b^2+ab}{ab\left(a+b\right)}\) là một số hữu tỉ (đpcm)
a) Từ giả thiết : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\text{=}\dfrac{1}{c}\)
\(\Rightarrow2ab\text{=}2bc+2ca\)
\(\Rightarrow2ab-2bc-2ca\text{=}0\)
Ta xét : \(\left(a+b-c\right)^2\text{=}a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\)
\(\text{=}a^2+b^2+c^2\)
Do đó : \(A\text{=}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\text{=}\sqrt{\left(a+b-c\right)^2}\)
\(\Rightarrow A\text{=}a+b-c\)
Vì a;b;c là các số hữu tỉ suy ra : đpcm
b) Đặt : \(a\text{=}\dfrac{1}{x-y};b\text{=}\dfrac{1}{y-x};c\text{=}\dfrac{1}{z-x}\)
Do đó : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\text{=}\dfrac{1}{c}\)
Ta có : \(B\text{=}\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}\)
Từ đây ta thấy giống phần a nên :
\(B\text{=}a+b-c\)
\(B\text{=}\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}-\dfrac{1}{z-x}\)
Suy ra : đpcm.
Mình bổ sung đề phần b cần phải có điều kiện của x;y;z nha bạn.
Lời giải:
Từ điều kiện đề bài suy ra $zx+zy=xy$
Khi đó:
$x^2+y^2+z^2=(x+y)^2-2xy+z^2=(x+y)^2+z^2-2(zx+zy)=(x+y)^2+z^2-2z(x+y)=(x+y-z)^2$
$\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2+z^2}=|x+y-z|$
Vì $x,y,z$ là các số hữu tỉ nên $\sqrt{x^2+y^2+z^2}=|x+y-z|$ là số hữu tỉ (đpcm)
P/s: Bạn chú ý lần sau gõ đề bằng công thức toán.