K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DT
0
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
TT
0
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
D
cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x+y+z=3
Cmr \(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2009}{xy+yz+xz}\ge670\)
1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 4 2019
\(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+xz+yz\right)}+\frac{2007}{xy+xz+yz}\)
\(P\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+xz+yz\right)}+\frac{2007}{xy+xz+yz}\)
\(P\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{2007}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=670\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
D
0
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
HH
Thực hiện phép tính:(1)/((y-z)(x^2+xz-y^2-yz))+(1)/((z-x)(y^2+zy-z^2-xz))+(1)/((x-y)(x^2+yz-z^2-xy|)
0
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
TL
0
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
NM
0
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Cần thêm điều kiện x;y;z đôi một phân biệt và để dấu "=" xảy ra khi thì x;y;z không âm chứ không phải dương
Không mất tính tổng quát, giả sử \(z=min\left\{x;y;z\right\}\Rightarrow xy+yz+zx\ge xy\)
\(\Rightarrow\dfrac{4}{xy+yz+zx}\le\dfrac{4}{xy}\)
Đồng thời:
\(\left(z-x\right)^2=x^2+z\left(z-2x\right)\le x^2\Rightarrow\dfrac{1}{\left(z-x\right)^2}\ge\dfrac{1}{x^2}\)
\(\left(y-z\right)^2=y^2+z\left(z-2y\right)\le y^2\ge\dfrac{1}{\left(y-z\right)^2}\ge\dfrac{1}{y^2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{x^2+y^2}{xy}\ge4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge2\) (hiển nhiên đúng theo AM-GM)
dấu = xảy ra khi nào ạ ?