Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=x-2\\b=y-2\\c=z-2\end{cases}}\left(a,b,c>0\right)\)
Lúc đó giả thiết được viết lại thành \(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1\)và ta cần chứng minh \(abc\le1\)
Ta có: \(\frac{1}{a+2}=1-\frac{1}{b+2}-\frac{1}{c+2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{b+2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{c+2}\)
\(=\frac{b}{2\left(b+2\right)}+\frac{c}{2\left(c+2\right)}\ge2\sqrt{\frac{bc}{4\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)(Theo bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương) (1)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{1}{b+2}\ge2\sqrt{\frac{ca}{4\left(c+2\right)\left(a+2\right)}}\)(2) ; \(\frac{1}{c+2}\ge2\sqrt{\frac{ab}{4\left(a+2\right)\left(b+2\right)}}\)(3)
Nhân theo vế 3 bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được:
\(\frac{1}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\ge\frac{abc}{\sqrt{\left(a+2\right)^2\left(b+2\right)^2\left(c+2\right)^2}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\ge\frac{abc}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\Leftrightarrow abc\le1\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=3\)
Đặt a=x-2; b=y-2; c=z-2. Phải chứng minh abc =<1
Thật vậy, từ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)ta có:
\(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1\)
Theo BĐT Cauchy ta có:
\(\frac{1}{a+2}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{b+2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{c+2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\right)\ge\sqrt{\frac{bc}{\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\left(1\right)\)
tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+2}\ge\sqrt{\frac{ac}{\left(a+2\right)\left(c+2\right)}}\left(2\right)\\\frac{1}{c+2}\ge\sqrt{\frac{ab}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}}\left(3\right)\end{cases}}\)
Nhân các vế của (1)(2)(3) ta được đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c hay x=y=z=3
Ta có \(1+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
Tương tự \(1+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)
\(1+z^2=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
Thay vào A ta được
\(P=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)
=2(xy+xz+yz)=2
\(b,VT=VP\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{xy+yz+zx+x^2}+\frac{y}{xy+yz+zx+y^2}+\frac{z}{xy+yz+zx+z^2}\)
\(=\frac{2xyz}{\sqrt{\left(xy+yz+zx+x^2\right)\left(xy+yz+zx+y^2\right)\left(xy+yz+zx+z^2\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{z}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\)
\(=\frac{2xyz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(y+x\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(\Leftrightarrow xy+xz+xy+yz+xz+yz=2xyz\)
\(\Leftrightarrow2=2xyz\)
\(\Leftrightarrow xyz=1\)
Đù =)))
ap dung bdt cauchy schwarz ta co
\(\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}>=\frac{\left(x-1+z-1+y-1\right)^2}{x+y+z}=\frac{1}{2}\)
vay min=1/2
\(\hept{\begin{cases}x+z=a\\y+z=b\end{cases}}\); \(x-y=\left(x+z\right)-\left(y+z\right)=a-b\)
\(ab=1\Rightarrow b=\frac{1}{a}\)
\(A=VT=\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{\left(a-\frac{1}{a}\right)^2}+\frac{1}{a^2}+a^2\)
\(=\frac{a^2}{\left(a^2-1\right)^2}+a^2+\frac{1}{a^2}\)
\(t=a^2>0\)
\(A=\frac{t}{\left(t-1\right)^2}+t+\frac{1}{t}\)
\(A-4=\frac{\left(t^2-3t+1\right)^2}{t\left(t-1\right)^2}\ge0\)
\(\Rightarrow A\ge4\)
Dấu bằng xảy ra khi \(t=a^2=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\)\(\Leftrightarrow a=\sqrt{\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=x+z=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\\b=y+z=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\end{cases}}\) và hoán vị còn lại
Hệ trên có vô số nghiệm, chẳng hạn
\(\hept{\begin{cases}z=\frac{1}{10}\\x=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}-\frac{1}{10}\\y=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}-\frac{1}{10}\end{cases}}\)
Bạn tham khảo tại đây:
Câu hỏi của Vũ Sơn Tùng - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Đặt \(\left(x-2,y-2.z-2\right)=\left(a,b,c\right)\) (a, b, c > 0).
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}=1\)
\(\Leftrightarrow abc+ab+bc+ca=4\).
Nếu \(abc>1\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}>3\Rightarrow abc+ab+bc+ca>4\) (vô lí).
Vậy \(\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)=abc\le1\).