DT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
GL
1
18 tháng 4 2019
\(\frac{x^3}{x^2+y^2}=\frac{x^3+xy^2-xy^2}{x^2+y^2}=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2xy}=x-\frac{y}{2}\)
Tương tự, ta có : \(\frac{y^3}{y^2+z^2}\ge y-\frac{z}{2}\)\(;\)\(\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge z-\frac{x}{2}\)
Cộng vế theo vế 3 bđt trên ta được :
\(\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge\left(x+y+z\right)-\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right)=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) ( đpcm )
TA
14 tháng 5 2017
Ta có \(VT=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\)
Lại có \(x^2\left(1-x^2\right)^2=\frac{2x^2\left(1-x^2\right)\left(1-x^2\right)}{2}\le\frac{\left(2x^2+1-x^2+1-x^2\right)^3}{54}=\frac{4}{27}\)
\(\Leftrightarrow\) \(x\left(1-x^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{x\left(1-x^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{x}{\left(1-x^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\) (1)
Tương tự cho \(\frac{y}{\left(1-y^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}y^2\) (2) và \(\frac{z}{\left(1-z^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}z^2\) (3)
Cộng vế theo vế ta được \(VT=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
A
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 5 2020
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Hoặc:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2\left(y+z\right)}{4\left(y+z\right)}}=x\)
\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\) ; \(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
23 tháng 2 2019
\(taco:\)
\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x\left(x+1\right)}.\frac{x}{2}.\frac{x+1}{4}}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{y\left(y+1\right)}.\frac{y}{2}.\frac{y+1}{4}}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{z\left(z+1\right)}.\frac{z}{2}.\frac{z+1}{4}}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z+3}{4}\ge\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{2}\left(dpcm\right)\)
^^
T
23 tháng 2 2019
Mình giải lại bài này cho đầy đủ hơn nhé: (nãy chỉ là hướng dẫn thôi)
Ta sẽ c/m: \(\frac{1}{x^2+x}\ge-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}\) (1).Thật vậy,xét hiệu hai vế,ta có:
\(VT-VP=\frac{\left(3x+4\right)\left(x-1\right)^2}{4\left(x^2+x\right)}\ge0\)
Suy ra \(VT\ge VP\).Vậy (1) đúng.
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế,ta có:
\(VT\ge-\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{5}{4}.3=\frac{3}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
23 tháng 8 2016
Đặt a = x + y, b = y + z, c = x + z
Từ đó ta có x = \(\frac{a\:+C-b}{2}\), y = \(\frac{a+b-c}{2}\), z = \(\frac{b+c-a}{2}\)
Thì bất đẳng thức thành
\(\frac{a+c-b}{2b}\)+ \(\frac{b+c-a}{2a}\)+ \(\frac{a+b-c}{2c}\)<= \(\frac{3}{2}\)
<=> (a/b + b/a) + (a/c + c/a) + (b/c + c/b) <= 6 (đúng)
Vậy bất đẳng thức ban đầu là đúng
2 tháng 5 2016
ta có \(\frac{1}{x^2+x}+\frac{x^2+x}{4}>=2\cdot\sqrt{\frac{1\cdot\left(x^2+x\right)}{\left(x^2+x\right)\cdot4}}=1\)
tương tự => \(\frac{1}{y^2+y}+\frac{y^2+y}{4}>=1;\frac{1}{z^2+z}+\frac{z^2+z}{4}>=1\)
=> VT >= 3-(\(\frac{x^2+x}{4}+\frac{y^2+y}{4}+\frac{z^2+z}{4}\))=3-\(\frac{x^2+y^2+z^2+3}{4}\)
mà \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{4}>=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4+4+4}=\frac{3}{4}\)
=> P>= 3-3/4-3/4=3/2
Dấu bằng khi x=y=z=1
VD
3 tháng 5 2016
Bài bạn Lương Ngọc Anh bị ngược dấu nên sai hoàn toàn. Lời giải:
Ta có:
\(\frac{1}{x^2+x}=\frac{1}{x\left(x+1\right)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\)
Tương tự, ta được:
\(VT=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
Áp dụng BĐT Schwarz:
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\le\frac{1}{4}\left(3+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Do đó:
\(VT\ge\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\frac{3}{4}\left(1\right)\)
Mặt khác:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}=3\left(2\right)\)
TỪ (1) VÀ (2) TA CÓ ĐIỀU PHẢI CHỨNG MINH.
ta cm BĐT x^2 + y^2 + z^2 \(\ge\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
bằng cách biến đổi tương đương
rồi áp dụng