TD
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TD
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 12 2018
Lời giải:
Tìm max:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(P^2=(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2y})^2\leq (1+2x+1+2y)(1+1)=4(x+y+1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)=2\Rightarrow x+y\leq \sqrt{2}\)
\(\Rightarrow P^2\leq 4(x+y+1)\leq 4(\sqrt{2}+1)\)
\(\Rightarrow P\leq 2\sqrt{\sqrt{2}+1}\)
Vậy \(P_{\max}=2\sqrt{\sqrt{2}+1}\Leftrightarrow x=y=\sqrt{\frac{1}{2}}\)
Tìm min:
Vì \(x^2+y^2=1\Rightarrow x^2\leq 1; y^2\leq 1\Rightarrow x,y\leq 1\). Kết hợp với \(x,y\geq 0\)
\(\Rightarrow 0\leq x,y\leq 1\Rightarrow x^2\leq x; y^2\leq y\Rightarrow x^2+y^2\leq x+y\)
Do đó:
\(P^2=2+2(x+y)+2\sqrt{(1+2x)(1+2y)}\)
\(=2+2(x+y)+2\sqrt{1+2(x+y)+4xy}\geq 2+2(x^2+y^2)+2\sqrt{1+2(x^2+y^2)}=4+2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow P\geq \sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{3}+1\)
Vậy \(P_{\min}=\sqrt{3}+1\Leftrightarrow (x,y)=(1,0)\) và hoán vị.
TD
0
23 tháng 12 2015
đúng đó trình bày lại đi xấu thật nhưng mik trình bày xấu hơn
DN
0
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số (1+2x, 1+2y) và (1,1) ta có:
\(P^2\le\left[\left(\sqrt{1+2x}\right)^2+\left(\sqrt{1+2y}\right)^2\right]\left(1^2+1^2\right)=2\left(2x+2y+1\right)\le2\left(x^2+1+y^2+1+1\right)=2.4=8\)
\(\Rightarrow P\le\sqrt{8}\)
Vậy GTLN của P là \(\sqrt{8}\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" khi \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{1+2x}=\sqrt{1+2y}\\x,y>0\\x^2+y^2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)