K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

2 tháng 11 2017

\(x\)+\(\frac{4}{x}+\frac{8}{x}+\frac{32}{y}\) \(\ge2\sqrt{\frac{x.4}{x}}+2\left(\frac{4}{x}+\frac{16}{y}\right)\) (cosi)

áp dụng bdt cauchy -swart dạng phân thức \(vt\ge4+2\left(\frac{\left(2+4\right)^2}{x+y}\right)\ge4+2.\frac{6^2}{6}=16\)

đầu = xảy ra khi x=2; y=4

                    

30 tháng 6 2020

\(P=\frac{3x-6\sqrt{x}+7}{2\sqrt{x}-2}+\frac{y-4\sqrt{x}+10}{\sqrt{y}-2}\)

\(=\frac{3\left(\sqrt{x}-1\right)}{2}+\frac{4}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}+\left(\sqrt{y}-2\right)+\frac{6}{\sqrt{y-1}}\)

\(=\frac{3\left(\sqrt{x}-1\right)}{2}+\frac{3}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}+\left(\sqrt{y}-2\right)+\frac{4}{\left(\sqrt{y}-2\right)}+\frac{4}{2\left(\sqrt{y}-2\right)}+\frac{1}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(\ge2.\sqrt{\frac{3}{2}.\frac{3}{2}}+2\sqrt{4}+\frac{\left(1+2\right)^2}{2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-3\right)}\)

\(=3+4+\frac{3}{2}=\frac{17}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = 4 và y = 16

28 tháng 11 2019

\(Q=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=\frac{1^2}{xy}+\frac{1^2}{yz}+\frac{1^2}{xz}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{xy+yz+xz}\)

\(=\frac{9}{xy+yz+zx}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2}\ge\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\).

Dấu " = " xảy ra <=> x = y =z = \(\sqrt{2}\).

9 tháng 5 2020

\(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}=\frac{2a}{2}=a\Rightarrow xy\le a^2\)

Ta có : \(A=\frac{x+y}{xy}\ge\frac{2a}{a^2}=\frac{a}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = a

vậy ....

3 tháng 2 2019

AP DUNG BDT CAUCHY-SCHWAR :  \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)(DAU "=" XAY RA KHI \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\))

3 tháng 2 2019

...Cauchy-Schwarz: 

\(Q\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z}=\frac{36}{1}=36\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\\frac{1}{x}=\frac{2}{y}=\frac{3}{z}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=y\\3y=2z\\z=3x\end{cases}}\)

Giải tiếp t cái dấu = :v

16 tháng 1 2020

\(S=x+y+\frac{3}{4x}+\frac{3}{4y}\)

\(=x+y+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

\(\ge x+y+\frac{3}{x+y}\)

\(=\left(x+y+\frac{16}{9\left(x+y\right)}\right)+\frac{11}{9\left(x+y\right)}\)

\(\ge\frac{4}{3}+\frac{11}{9\cdot\frac{4}{3}}=\frac{43}{12}\)

Tại \(x=y=\frac{2}{3}\)

22 tháng 2 2019

giải đi ?

22 tháng 2 2019

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : 

\(P=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}\)

                                                       \(=\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)}{\sqrt{xy}}\)

                                                                                            \(\ge\frac{2\sqrt{\sqrt{x}.\sqrt{y}}\left(x+y-\frac{x+y}{2}\right)}{\sqrt{xy}}\)

                                                                                            \(=\frac{x+y}{\sqrt[4]{xy}}\ge\frac{x+y}{\sqrt{\frac{x+y}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}}}=\sqrt{2}\)

Dấu "=" khi x = y = 1/2

20 tháng 1 2022

\(A=x+\frac{1}{y}+\frac{4}{x-y}\)

\(A=x-y+\frac{4}{x-y}+y+\frac{1}{y}\)

Do \(x>y\Leftrightarrow x-y>0\)nên ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương \(x-y\)và \(\frac{4}{x-y}\)

Ta được \(x-y+\frac{4}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{4}{x-y}}=4\)

Vì \(y>0\)nên ta áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương \(y\)và \(\frac{1}{y}\), ta có:

\(y+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{y.\frac{1}{y}}=2\)

Vậy \(A=x-y+\frac{4}{x-y}+y+\frac{1}{y}\ge4+2=6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x-y=\frac{4}{x-y}\\y=\frac{1}{y}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=4\\y^2=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=2\left(x-y>0\right)\\y=1\left(y>0\right)\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}}\)

Vậy GTNN của A là 6 khi \(\hept{\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}}\)

27 tháng 2 2020

\(B=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+y}\)

Áp dụng BĐT cô si:

\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=x\)

CMTT: \(\frac{y^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge y\)

         \(\frac{z^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge z\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+z}+\frac{x+y}{4}+\frac{y+z}{4}+\frac{x+z}{4}\ge x+y+z\)

\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+z}\ge4-\frac{2.\left(x+y+z\right)}{4}=4-2=2\)

           \(B\ge2\)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{4}{3}\)

27 tháng 2 2020

sờ vác xơ

\(B=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}\)

\(=2\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{4}{3}\)